2012-安徽卷理-16 解-两角和差

本题导读

本题考查两角和与差的正弦、余弦公式。核心在于公式法、换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 设函数 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos (2x+\frac{\pi }{4})+{\sin }^{2}x$.

(1)求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2)设函数 $g(x)$ 对任意 $x\in \mathbb{R}$，有 $g(x+\frac{\pi }{2})=g(x)$，且当 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$ 时，$g(x)=\frac{1}{2}-f(x)$，求 $g(x)$ 在区间 $[-\pi ,0]$ 上的解析式.

🔍【思路分析】

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1. 化简 $f(x)$：

• 利用两角和余弦公式：$\cos (2x+\frac{\pi }{4})=\cos 2x\cos \frac{\pi }{4}-\sin 2x\sin \frac{\pi }{4}$。
• 利用降幂公式：${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$。
• 合并同类项，化为 $A\sin (\omega x+\varphi )+B$ 的形式。

2. 求周期：利用公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。
3. 求 $g(x)$ 解析式：

• 首先确定 $g(x)$ 在已知区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的具体表达式。
• 利用周期 $T_g=\frac{\pi }{2}$，将 $x\in [-\pi ,0]$ 分段平移。
• 例如：若 $x\in [-\frac{\pi }{2},0]$，则 $x+\frac{\pi }{2}\in [0,\frac{\pi }{2}]$，代入已知式求解。

✅【答案】

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(1) $T=\pi$

(2) $g(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}\sin 2x,& -\frac{\pi }{2}\le x\le 0\\ \frac{1}{2}\sin 2x,& -\pi \le x<-\frac{\pi }{2}\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 先化简函数 $f(x)$ 的表达式： $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos 2x\cos \frac{\pi }{4}-\sin 2x\sin \frac{\pi }{4})+\frac{1-\cos 2x}{2}$ $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x)+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x$ $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x$ $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin 2x$

由公式得 $f(x)$ 的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）知，$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin 2x$。 当 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$ 时： $g(x)=\frac{1}{2}-f(x)=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sin 2x)=\frac{1}{2}\sin 2x$

已知 $g(x)$ 的周期为 $\frac{\pi }{2}$。

1. 当 $x\in [-\frac{\pi }{2},0]$ 时： 则 $x+\frac{\pi }{2}\in [0,\frac{\pi }{2}]$， 故 $g(x)=g(x+\frac{\pi }{2})=\frac{1}{2}\sin 2(x+\frac{\pi }{2})=\frac{1}{2}\sin (2x+\pi )=-\frac{1}{2}\sin 2x$。

2. 当 $x\in [-\pi ,-\frac{\pi }{2})$ 时： 则 $x+\pi \in [0,\frac{\pi }{2})$， 故 $g(x)=g(x+\pi )=\frac{1}{2}\sin 2(x+\pi )=\frac{1}{2}\sin (2x+2\pi )=\frac{1}{2}\sin 2x$。

综上所述，$g(x)$ 在区间 $[-\pi ,0]$ 上的解析式为： $g(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}\sin 2x,& -\frac{\pi }{2}\le x\le 0\\ \frac{1}{2}\sin 2x,& -\pi \le x<-\frac{\pi }{2}\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换的熟练度；利用周期性进行区间平移的技巧。
2. 核心方法：“区间平移法”。求分段函数解析式时，设所求区间的自变量为 $x$，构造出处于已知区间的自变量（如 $x+nT$），代入原解析式。
3. 易错点：化简 $f(x)$ 时符号出错；在第二问中忽略了分段讨论，导致解析式不完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 若函数 $f(x)$ 满足 $f(x+T)=f(x)$，则在任意长度为 $T$ 的区间内，其图象特征完全一致。
2. 方法推广: 降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 是处理三角函数二次项的必备利器。
3. 题目推广: 若 $g(x)$ 是奇函数或偶函数，结合周期性可以求出更多区间的解析式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

• 07.03 三角函数的图象与性质 类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-01 填-二倍角公式

• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换

• 2007-上海卷理-06 填-三角函数周期性