2012-安徽卷理-17 解-分布列

本题导读

本题考查分布列。核心在于公式法、枚举法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是 $A$ 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道 $A$ 类型试题和一道 $B$ 类型试题入库，此次调用工作结束；若调用的是 $B$ 类型试题，则使用后该试题回库，此次调用工作结束.试题库中现共有 $n+m$ 道试题，其中有 $n$ 道 $A$ 类型试题和 $m$ 道 $B$ 类型试题，以 $X$ 表示两次调用工作完成后，试题库中 $A$ 类型试题的数量.

(1)求 $X=n+2$ 的概率；

(2)设 $m=n$，求 $X$ 的分布列和均值（数学期望）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 规则分析：

• 抽到 $A$：$A$ 类题增加 1 道（$n\to n+1$），总题数增加 2 道。
• 抽到 $B$：$A$ 类题数量不变，总题数不变。

2. 第一问：$X=n+2$ 意味着 A 类题增加了 2 道。根据规则，只有两次连续抽到 A 类试题才能实现。注意第一次抽完后库中试题总数和 A 类数都发生了变化。
3. 第二问：

• 确定 $X$ 的可能取值：两次都抽到 B（$X=n$）、一 A 一 B（$X=n+1$）、两次都抽到 A（$X=n+2$）。
• 计算各取值的概率：在 $m=n$ 的条件下，利用概率乘法公式。
• 列分布列并求期望。

✅【答案】

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(1) $P(X=n+2)=\frac{n}{n+m}\cdot \frac{n+1}{n+m+2}$

(2) $P(X=n)=\frac{1}{4}$，$P(X=n+1)=\frac{1}{2}$，$P(X=n+2)=\frac{1}{4}$，$EX=n+1$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 事件 $X=n+2$ 表示两次调用的工作完成后，$A$ 类试题的数量增加了 2 道。 根据题目规则，只有当连续两次调用的均为 $A$ 类型试题时，这种情况才会发生。 第一次调用到 $A$ 类型试题的概率 $P_1=\frac{n}{n+m}$。 第一次调用 $A$ 类型试题后，$A$ 类试题变为 $n+1$ 道，总试题数变为 $(n+m)+2$ 道。 第二次调用到 $A$ 类型试题的概率 $P_2=\frac{n+1}{n+m+2}$。 故 $X=n+2$ 的概率为： $P(X=n+2)=\frac{n}{n+m}\times \frac{n+1}{n+m+2}$

（Ⅱ）解： 当 $m=n$ 时，第一次调用 $A$ 类型试题的概率 $p=\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}$。 $X$ 的可能取值为 $n,n+1,n+2$。

1. 当 $X=n$ 时，表示两次调用的均为 $B$ 类型试题： $P(X=n)=\frac{n}{2n}\times \frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

2. 当 $X=n+1$ 时，包含两种情况：

• 第一次抽到 $A$，第二次抽到 $B$：$P_{AB}=\frac{n}{2n}\times \frac{n+1}{2n+2}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

• 第一次抽到 $B$，第二次抽到 $A$：$P_{BA}=\frac{n}{2n}\times \frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ 故 $P(X=n+1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。

3. 当 $X=n+2$ 时，表示两次均为 $A$： $P(X=n+2)=\frac{n}{2n}\times \frac{n+1}{2n+2}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$X$ 的分布列如下：

$X$	$n$	$n+1$	$n+2$
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

计算期望 $EX$： $EX=n\cdot \frac{1}{4}+(n+1)\cdot \frac{1}{2}+(n+2)\cdot \frac{1}{4}$ $EX=\frac{n}{4}+\frac{n}{2}+\frac{1}{2}+\frac{n}{4}+\frac{1}{2}=n+1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：动态背景下的条件概率计算；离散型随机变量的分布列与期望公式。
2. 核心方法：“步步为营分析法”。在 $m=n$ 的特殊情况下，虽然第一次抽样改变了库容，但由于 $A,B$ 同比例增加，后续抽样概率依然保持 $\frac{1}{2}$，这是本题的巧妙之处。
3. 易错点：计算 $X=n+1$ 时漏掉“先 B 后 A”的情况。注意第一次抽到 B 后，库中 $A,B$ 数量和总数均未变，而第一次抽到 A 后，总数增加了。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 若系统持续演化，在 $m=n$ 且每次增补同比例试题时，抽中 A 的概率始终为常数。
2. 方法推广: 涉及“回库并增补”的概率模型，应时刻关注每次操作后样本空间 $S$ 的元素变化。
3. 题目推广: 若改为无放回抽样，则为超几何分布模型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

• 23.01 条件概率与乘法公式 类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列

• 2013-湖北卷理-09 单-数学期望

• 2014-上海卷理-13 填-数学期望