2012-山东卷文-12 单-三次方程重根与公共点

本题导读

本题考查函数图象的公共点，以及三次方程的实根与重根。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 设函数 $f(x)=\frac{1}{x}$，$g(x)=-x^2+bx$. 若 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象有且仅有两个不同的公共点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则下列判断正确的是()

A. $x_1+x_2>0$，$y_1+y_2>0$　　　　　　　　　　　B. $x_1+x_2>0$，$y_1+y_2<0$

C. $x_1+x_2<0$，$y_1+y_2>0$　　　　　　　　　　　D. $x_1+x_2<0$，$y_1+y_2<0$

🔍【思路分析】

破题导航

联立得 $x^3-b{x}^2+1=0$，两个公共点说明有一对重根，解出 $b=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$，两根异号且 $x_1+x_2=\frac{b}{3}>0$，$y_1+y_2=-\frac{3}{2b}<0$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

公共点的横坐标满足 $\frac{1}{x}=-x^2+bx$，两边同乘 $x$（$x\ne 0$）得 $x^3-b{x}^2+1=0$。

记 $h(x)=x^3-b{x}^2+1$，则 $h^{\prime }(x)=x(3x-2b)$。

$h(0)=1\ne 0$，故若方程有重根，重根只能在 $x=\frac{2b}{3}$ 处（$b\ne 0$）。由 $h\left(\frac{2b}{3}\right)=\frac{8b^3}{27}-\frac{12b^3}{27}+1=0$ 得 $b^3=\frac{27}{4}$，$b=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}>0$。

此时重根 $x_0=\frac{2b}{3}$，由韦达定理（三根之和为 $b$）得第三根 $x_3=b-2\cdot \frac{2b}{3}=-\frac{b}{3}$。

故两个公共点的横坐标为 $x_0=\frac{2b}{3}>0$ 与 $x_3=-\frac{b}{3}<0$，于是 $x_1+x_2=\frac{2b}{3}-\frac{b}{3}=\frac{b}{3}>0$。

又 $y=\frac{1}{x}$，故 $y_1+y_2=\frac{3}{2b}-\frac{3}{b}=-\frac{3}{2b}<0$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：曲线公共点与三次方程的根；重根（相切）的判定；韦达定理

核心方法：联立化为三次方程 → 由”两个公共点”锁定重根位置 → 用根与系数关系比较和

避坑指南：注意”两个公共点”对应的是两个不同实根（其中一个是重根），不能把重根数成两个点；$h(0)=1\ne 0$ 说明重根不在 $x=0$（否则 $x=0$ 不是定义域内的点）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次方程重根与图象公共点题，与 2014 年浙江卷理第 6 题、2014 年新课标Ⅰ文第 12 题同族。

结论推广：三条曲线交点问题可统一化为 $h(x)=0$ 的实根个数问题；$h$ 有重根 $\iff$ $h$ 与 $x$ 轴在极值点处相切。

方法推广：“公共点个数”问题三步：联立消元成单变量方程 → 用导数找极值点 → 由根数反推参数的临界值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-06 单-三次函数的解析式
• 2014-新课标I卷文-12 单-三次函数零点
• 2014-陕西卷文-10 单-三次函数切线