2012-山东卷文-13 填-正方体内锥体体积

本题导读

本题考查正方体的结构特征，以及锥体的体积。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 $1$，$E$ 为线段 $B_{1}C$ 上的一点，则三棱锥 $A-DE{D}_1$ 的体积为$\underline{}$.

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🔍【思路分析】

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以 $△AD{D}_1$ 为底（面积 $\frac{1}{2}$），$E$ 到平面 $AD{D}_1$ 的距离恒为 $1$，故 $V=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{6}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

把三棱锥 $A-DE{D}_1$ 看作以 $E$ 为顶点、$△AD{D}_1$ 为底面的三棱锥。

取 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 所在直线为坐标轴（单位长度为棱长 $1$），则平面 $AD{D}_1$ 的方程为 $x=0$。

$B_1(1,0,1)$，$C(1,1,0)$，故线段 $B_{1}C$ 上的点 $E$ 的横坐标恒为 $1$，即 $E$ 到平面 $AD{D}_1$ 的距离恒为 $1$。

底面 $△AD{D}_1$ 为直角三角形，$S=\frac{1}{2}\times AD\times D{D}_1=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。

故 $V=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：锥体体积公式；等体积法（换底）与点到平面的距离

核心方法：把动点当作顶点，选取与该动点距离恒定的面作底面

避坑指南：$E$ 在 $B_{1}C$ 上滑动，但它到侧面 $AD{D}_1{A}_1$ 的距离恒等于棱长 $1$，故体积与 $E$ 的位置无关；底面积要选 $△AD{D}_1$ 而非 $△DE{D}_1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体内锥体体积题，与 2014 年山东卷理第 13 题、2014 年新课标Ⅱ文第 7 题同族。

结论推广：当动点所在直线平行于某个平面时，该点到这个平面的距离保持不变，可把锥体体积转化为”定底 × 定高”。

方法推广：求含动点锥体体积：先找与动点轨迹平行的平面作底面，再用 $V=\frac{1}{3}Sh$ 直接计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-07 单-三棱锥体积
• 2014-山东卷理-13 填-柱、锥、台的体积
• 2013-山东卷文-04 单-三视图正四棱锥