2014-新课标II卷文-07 单-三棱锥体积

本题导读

$AD\perp BC$ 且 $AD\perp B{B}_1$，故 $AD\perp$ 平面 $B_{1}D{C}_1$，$V=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}=1$，选 C。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的底面边长为 2，侧棱长为 $\sqrt{3}$，$D$ 为 $BC$ 中点，则三棱锥 $A-B_{1}D{C}_1$ 的体积为()

A. 3　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

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$AD\perp BC$ 且 $AD\perp B{B}_1$，故 $AD\perp$ 平面 $B_{1}D{C}_1$，$V=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}=1$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

正三角形 $ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 中点，由”三线合一”，$AD\perp BC$。

侧棱 $B{B}_1\perp$ 底面 $ABC$，$AD\subset$ 底面，故 $AD\perp B{B}_1$。

$BC\cap B{B}_1=B$，且 $B_1{C}_1\parallel BC$，所以 $AD\perp$ 平面 $B_{1}D{C}_1$。

于是 $AD$ 是三棱锥 $A-B_{1}D{C}_1$ 的高，$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$（正三角形高）。

$△B_{1}D{C}_1$ 中，$B_1{C}_1=2$，$D$ 到 $B_1{C}_1$ 的距离等于侧棱长 $\sqrt{3}$（$D$ 在底面、$B_1{C}_1$ 在顶面，水平距离即侧棱长），$S=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{3}=\sqrt{3}$。

$V=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}=1$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱柱的性质；线面垂直的判定；三棱锥的体积

2. 核心方法：“三线合一” + 侧棱垂直底面构造线面垂直，换底算体积

3. 避坑指南：底面 $△B_{1}D{C}_1$ 的”高”是侧棱长 $\sqrt{3}$（$D$ 到顶面直线 $B_1{C}_1$ 的距离），不是 $D$ 到 $B_1{C}_1$ 在同一平面内的距离；换底后高与底必须对应同一个顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 棱锥体积换底题（doc 考点定位：立体几何），2014 年新课标Ⅰ文第 19 题、2015 年新课标Ⅰ文第 6 题同族。

2. 结论推广: 一般地，求三棱锥体积先挑”最好算”的面作底：本题把顶点从 $A$ 处的高换成 $AD$ 作高，面积与高都是现成线段。

3. 方法推广: 棱锥体积的等体积法：底面选”边长已知 + 高易求”的三角形，高选”垂直关系现成”的线段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高
• 2015-新课标I卷文-06 单-圆锥体积