2012-广东卷文-08 单-直线与圆弦长

本题导读

本题考查直线与圆相交的弦长。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $3x+4y-5=0$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 相交于 $A$、$B$ 两点，则弦 $AB$ 的长等于()

A. $3\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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圆心到直线距离 $d=1$，弦长 $=2\sqrt{4-1}=2\sqrt{3}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=4$ 的圆心为 $(0,0)$，半径 $r=2$。

圆心到直线的距离 $d=\frac{|3\times 0+4\times 0-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{5}{5}=1$。

由垂径定理，弦长 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4-1}=2\sqrt{3}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线的距离公式；垂径定理与半弦长公式

核心方法：先求弦心距，再用 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$

避坑指南：半弦、弦心距、半径构成直角三角形：${\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2+d^2=r^2$；忘乘 $2$ 会误选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆弦长题，与 2024 年甲卷理第 12 题、2025 年天津卷第 12 题同族。

结论推广：弦长 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$，其中 $d$ 为圆心到直线的距离；$d<r$ 相交、$d=r$ 相切、$d>r$ 相离。

方法推广：弦长问题一律”圆心距 + 半弦直角三角形”，不必求交点坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2024-甲卷理-12 单-直线与圆相交弦长
• 2025-天津卷-12 填-直线与圆相交弦长
• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系