2010-广东卷文-06 单-直线与圆相切

本题导读

考查直线与圆相切。圆心在 $x$ 轴左侧设为 $(-a,0)$，$a>0$，到直线 $x+2y=0$ 的距离 $\frac{a}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ 得 $a=5$，圆心 $(-5,0)$，方程为 $(x+5{)}^2+y^2=5$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 若圆心在 $x$ 轴上、半径为 $\sqrt{5}$ 的圆 $O$ 位于 $y$ 轴左侧，且与直线 $x+2y=0$ 相切，则圆 $O$ 的方程是()

A. $(x-\sqrt{5}{)}^2+y^2=5$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $(x+\sqrt{5}{)}^2+y^2=5$

C. $(x-5{)}^2+y^2=5$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $(x+5{)}^2+y^2=5$

🔍【思路分析】

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1. 圆心在 $x$ 轴且在 $y$ 轴左侧，设为 $(-a,0)$，$a>0$。
2. 相切 $⟺$ 圆心到直线距离等于半径，解出 $a$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设圆心为 $(-a,0)$，其中 $a>0$（位于 $y$ 轴左侧）. 直线 $x+2y=0$ 化为一般式，圆心到它的距离为 $d=\frac{|-a+2\times 0|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{a}{\sqrt{5}}.$ 因圆与直线相切，$d=$ 半径 $\sqrt{5}$，故 $\frac{a}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，解得 $a=5$. 所以圆心为 $(-5,0)$，圆的方程为 $(x+5{)}^2+y^2=5.$ 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆相切

核心方法：设圆心 $(-a,0)$，圆心到直线 $x+2y=0$ 距离 $\frac{a}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ 得 $a=5$

避坑指南：圆心在 $x$ 轴且在 $y$ 轴左侧要设 $(-a,0)$（$a>0$）；点线距离公式分母是 $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，别算成 $\sqrt{5}$ 的平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆相切 $⟺$ 圆心到直线距离等于半径。

结论推广：$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；相切时 $d=r$。

方法推广：先由圆心位置设圆心（含符号），再用距离等于半径列方程解参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-13 填-圆的方程
• 2011-辽宁卷文-13 填-圆的方程弦等距
• 2012-广东卷文-08 单-直线与圆弦长
• 2012-北京卷文-09 填-直线与圆弦长