2012-广东卷文-16 解-三角函数求值与化简

本题导读

本题考查由函数值求参数。核心在于展开法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） 已知函数 $f(x)=A\cos \left(\frac{x}{4}+\frac{\pi }{6}\right)$，$x\in \mathbf{R}$，且 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{2}$.

(1)求 $A$ 的值；

(2)设 $\alpha$，$\beta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，$f\left(4\alpha +\frac{4\pi }{3}\right)=-\frac{30}{17}$，$f\left(4\beta -\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{8}{5}$，求 $\cos (\alpha +\beta )$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

$A=2$；$f(4\alpha +\frac{4\pi }{3})=-2\sin \alpha$、$f(4\beta -\frac{2\pi }{3})=2\cos \beta$，得 $\sin \alpha =\frac{15}{17}$、$\cos \beta =\frac{4}{5}$，$\cos (\alpha +\beta )=-\frac{13}{85}$。

✅【答案】

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(1)$A=2$；(2)$\cos (\alpha +\beta )=-\frac{13}{85}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=A\cos \left(\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{6}\right)=A\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}A=\sqrt{2}$，故 $A=2$。

（2）由（1）知 $f(x)=2\cos \left(\frac{x}{4}+\frac{\pi }{6}\right)$。

$f\left(4\alpha +\frac{4\pi }{3}\right)=2\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\right)=2\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-2\sin \alpha =-\frac{30}{17}$，

故 $\sin \alpha =\frac{15}{17}$；由 $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 得 $\cos \alpha =\frac{8}{17}$。

$f\left(4\beta -\frac{2\pi }{3}\right)=2\cos \left(\beta -\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)=2\cos \beta =\frac{8}{5}$，故 $\cos \beta =\frac{4}{5}$；由 $\beta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 得 $\sin \beta =\frac{3}{5}$。

于是

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\frac{8}{17}\times \frac{4}{5}-\frac{15}{17}\times \frac{3}{5}=\frac{32-45}{85}=-\frac{13}{85}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数求值；诱导公式 $\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x$；同角平方关系与和角公式

核心方法：先把自变量代入化简（半角变整角），分别求出 $\sin \alpha$ 与 $\cos \beta$ 的伴随值，最后套和角公式

避坑指南：$\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \alpha$ 的负号易丢，丢号会把 $\sin \alpha$ 算成 $-\frac{15}{17}$；$\alpha$、$\beta$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 内正弦、余弦均非负，开方不取负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角求值解答题，与 2013 年广东卷文第 4 题、2013 年重庆卷理第 9 题同族。

结论推广：$f(kx+c)$ 型代入时，先把 $\frac{x}{4}$ 的系数除尽再套诱导公式；$\beta$ 的条件式恰好消去相位，是命题设计的”巧合点”。

方法推广：给值求角（求值）题按”化简条件 — 定象限符号 — 展开目标”三步，每步写出所用公式的名称。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-04 单-诱导公式求值
• 2013-重庆卷理-09 单-诱导公式
• 2026-新高考I卷-03 单-诱导公式