2011-广东卷文-16 解-三角求值

本题导读

本题考查三角函数求值，以及同角关系。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 已知函数 $f(x)=2\sin \left(\frac{1}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)$，$x\in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(0)$ 的值；

(2) 设 $\alpha$，$\beta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，$f\left(3\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=\frac{10}{13}$，$f(3\beta +2\pi )=\frac{6}{5}$，求 $\sin (\alpha +\beta )$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 直接代入
2. 步骤2：(2) 由 $f(3\alpha +\frac{\pi }{2})=2\sin \alpha$、$f(3\beta +2\pi )=2\cos \beta$ 提取单角三角函数值
3. 步骤3：再展开 $\sin (\alpha +\beta )$

✅【答案】

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(1) $f(0)=-1$

(2) $\sin (\alpha +\beta )=\frac{63}{65}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f(0)=2\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$。

(2) 内层角化简：$\frac{1}{3}\left(3\alpha +\frac{\pi }{2}\right)-\frac{\pi }{6}=\alpha +\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\alpha$，故 $f\left(3\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=2\sin \alpha =\frac{10}{13}$，$\sin \alpha =\frac{5}{13}$。

$\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，$\cos \alpha =\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\frac{12}{13}$。

$\frac{1}{3}(3\beta +2\pi )-\frac{\pi }{6}=\beta +\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\beta +\frac{\pi }{2}$，故 $f(3\beta +2\pi )=2\sin \left(\beta +\frac{\pi }{2}\right)=2\cos \beta =\frac{6}{5}$，$\cos \beta =\frac{3}{5}$。

$\beta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，$\sin \beta =\frac{4}{5}$。

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{5}{13}\times \frac{3}{5}+\frac{12}{13}\times \frac{4}{5}=\frac{15+48}{65}=\frac{63}{65}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的代入求值；诱导公式与同角关系；和角正弦公式

核心方法：先把内层相位 $(3\alpha +\frac{\pi }{2})÷3-\frac{\pi }{6}$ 化简到最简角，提取单角三角函数值后再展开和角

避坑指南：第二处相位 $\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$ 别算错，它把 $f(3\beta +2\pi )$ 变成 $2\cos \beta$；由正弦值开方求余弦时用 $\alpha$，$\beta \in [0,\frac{\pi }{2}]$ 定正号，这一步的理由（角的范围）要写全。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角求值题与 2012-广东卷文-16、2011-福建卷文-09、2013-大纲卷文-02 同族。

结论推广：推广：形如 $f(kx+{\phi }_1)$ 的条件代入时，先把相位 $\frac{kx+{\phi }_1}{\omega }+{\phi }_0$ 整体化简到最简角再读值；$\sin \left(\beta +\frac{\pi }{2}\right)=\cos \beta$ 是”整体角”思想的直接应用。

方法推广：三角解答题第一问常为代入送分；第二问按”化简相位 → 提取单角 → 开方定号 → 展开和角”四步走，顺序固定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2012-广东卷文-16 解-三角函数求值与化简
• 2011-福建卷文-09 单-同角关系与二倍角
• 2013-大纲卷文-02 单-同角三角函数