2013-重庆卷理-09 单-诱导公式

本题导读

本题考查诱导公式，以及两角和与差的正弦、余弦公式。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） $4\cos 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }=$()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　D. $2\sqrt{2}-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一函数名：将 $\tan 40^{\circ }$ 转化为 $\frac{\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}$（切化弦）。
2. 通分化简：将原式写成分式形式，观察分子结构。
3. 利用诱导公式：注意到 $50^{\circ }$ 和 $40^{\circ }$ 是余角关系，即 $\cos 50^{\circ }=\sin 40^{\circ }$。
4. 寻找倍角关系：分子中出现 $2\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }$ 可以转化为 $\sin 80^{\circ }$。
5. 拆角构造特殊角：将 $\sin 80^{\circ }$ 拆分为 $\sin (120^{\circ }-40^{\circ })$，利用两角差的正弦公式展开，从而与分子中剩余的 $\sin 40^{\circ }$ 抵消或合并。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$4\cos 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }$

第一步：切化弦与通分 $=4\cos 50^{\circ }-\frac{\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}$ $=\frac{4\cos 50^{\circ }\cos 40^{\circ }-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}$

第二步：利用诱导公式 $\cos 50^{\circ }=\sin 40^{\circ }$ 代换 $=\frac{4\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}$

第三步：利用二倍角公式 $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\alpha$ $=\frac{2(2\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ })-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}$ $=\frac{2\sin 80^{\circ }-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}$

第四步：和差化积或拆角变换 将 $\sin 80^{\circ }$ 写成 $\sin (60^{\circ }+20^{\circ })$ 过于复杂，改用 $\sin 80^{\circ }=\sin (120^{\circ }-40^{\circ })$： $=\frac{2\sin (120^{\circ }-40^{\circ })-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}$ 利用公式 $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ 展开： $=\frac{2(\sin 120^{\circ }\cos 40^{\circ }-\cos 120^{\circ }\sin 40^{\circ })-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}$ 代入特殊角数值 $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$： $=\frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 40^{\circ }-(-\frac{1}{2})\sin 40^{\circ })-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}$ $=\frac{\sqrt{3}\cos 40^{\circ }+\sin 40^{\circ }-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}$

第五步：约分得出结果 $=\frac{\sqrt{3}\cos 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}=\sqrt{3}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“切化弦”是处理含有正切、余切求值问题的通用第一步。 7. 核心技巧：“凑角法”。在计算非特殊角的三角函数时，核心逻辑是构造出能与原角发生联系的特殊角（如 $60^{\circ },120^{\circ }$）。

避坑指南：注意 $4\cos 50^{\circ }$ 的系数 4，不要在变倍角时漏掉系数 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角公式 $a\sin x+b\cos x$。

结论推广：此类题目最终通常会化为 $\sqrt{2},\sqrt{3},1$ 等简洁的无理数或整数。

方法推广：遇到 $\sin 80^{\circ }-\sin 40^{\circ }$ 这类形式，也可以使用和差化积公式： $\sin 80^{\circ }-\sin 40^{\circ }=2\cos 60^{\circ }\sin 20^{\circ }=\sin 20^{\circ }$。 但本题分子是 $2\sin 80^{\circ }-\sin 40^{\circ }$，使用拆角法更高效。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-03 单-诱导公式
• 2013-广东卷文-04 单-诱导公式求值