2012-广东卷理-03 单-三角

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及向量加减法的几何意义。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 若向量 $\overrightarrow{BA}=(2,3)$, $\overrightarrow{CA}=(4,7)$, 则 $\overrightarrow{BC}=$()

A. $(-2,-4)$　　　B. $(3,4)$　　　C. $(6,10)$　　　D. $(-6,-10)$

🔍【思路分析】

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1. 因为已知两个向量的终点均为 $A$，且需要求解以 $B$ 为起点、 $C$ 为终点的向量 $\overrightarrow{BC}$，所以可以通过引入公共点 $A$ 进行向量的拆分。
2. 因为依据向量减法的三角形法则满足“后减前”原则，即 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}$，所以直接将两已知向量的坐标代入作差即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 依据平面向量的加减法法则，通过引入中间点 $A$ 可以将向量 $\overrightarrow{BC}$ 顺次拆解： $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$

因为 向量的反向特征满足 $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}$， 所以 上式可以化简为向量的减法结构： $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}$

因为 已知坐标分量分别为 $\overrightarrow{BA}=(2,3)$， $\overrightarrow{CA}=(4,7)$， 所以 将各轴向的坐标对应代入减法算式中： $\overrightarrow{BC}=(2,3)-(4,7)$ $\overrightarrow{BC}=(2-4,3-7)$ $\overrightarrow{BC}=(-2,-4)$

故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的代数拆分、向量坐标的减法运算。
2. 核心方法：公共点有理化拆分法（后减前原则）。
3. 避坑指南：

• 因为向量减法满足“相同起点，指向被减数”的规律，部分考生在写 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}$ 时容易错记为 $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}$，导致算出 $(2,4)$ 而误选。牢记首尾相接法 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ 可确保符号绝对正确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中关于平面向量坐标运算法则的基础训练题。
2. 结论推广：在直角坐标系中，对于任意共享相同终点 $P$ 的两个向量 $\overrightarrow{MP}=(x_1,y_1)$ 和 $\overrightarrow{NP}=(x_2,y_2)$，由三角形法则推广，以其起点构成的向量 $\overrightarrow{MN}$ 恒满足固定的代数差分矩阵： $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{NP}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

• 09.02 平面向量的线性运算 类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷理-03

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算

• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算