2012-广东卷理-09 填-充要条件

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法，以及分区讨论法。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 不等式 $|x+2|-|x|\le 1$ 的解集为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 因为不等式中含有两个绝对值号，所以可以通过寻找绝对值内部的零点 $x=-2$ 和 $x=0$ 将实数轴划分为三个区间。
2. 因为在不同区间内绝对值内部代数式的正负号不同，所以分区间去掉绝对值号，转化为三个独立的一元一次不等式组分别求解，最后取并集。

✅【答案】

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$\left\{x|x\le -\frac{1}{2}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 令绝对值内部为零，得到临界零点分别为 $x=-2$ 和 $x=0$， 所以 我们将实数轴分为三个区间展开分类讨论：

• （1）当 $x<-2$ 时 因为 $x+2<0$ 且 $x<0$，去绝对值号需变号， 所以 原不等式化为： $-(x+2)-(-x)\le 1⟹-x-2+x\le 1⟹-2\le 1$ 因为 $-2\le 1$ 恒成立， 所以 此时的解集为整个区间： $x<-2$

• （2）当 $-2\le x\le 0$ 时 因为 $x+2\ge 0$ 且 $x\le 0$， 原不等式化为： $(x+2)-(-x)\le 1⟹x+2+x\le 1⟹2x\le -1⟹x\le -\frac{1}{2}$ 结合当前区间限制 $-2\le x\le 0$，取交集得到： $-2\le x\le -\frac{1}{2}$

• （3）当 $x>0$ 时 因为 $x+2>0$ 且 $x>0$， 原不等式化为： $(x+2)-x\le 1⟹2\le 1$ 因为 $2\le 1$ 属于无解的错误命题， 所以 此时的解集为空集 $\varnothing$。

综上所述，将三个分支区间的解集取并集满足： $(x<-2)\cup \left(-2\le x\le -\frac{1}{2}\right)⟹x\le -\frac{1}{2}$

用区间或集合形式表示为：$\left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]$。

故答案为：$\left\{x|x\le -\frac{1}{2}\right\}$（或 $\left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双绝对值不等式的零点区间分段化简。
2. 核心方法：零点分段讨论法。
3. 避坑指南：

• 因为在分区去绝对值时容易弄错正负号，特别是当 $x<-2$ 时， $|x|$ 去掉绝对值后为 $-x$，前面原有的减号与其组合变为 $+x$。
• 在求出每个分支的解后，必须先与该分支的假设前提条件求交集，最后把所有分支的有效解求并集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材选修4-5《绝对值不等式》中关于双绝对值函数差值的常规核心基础填空题。
2. 结论推广：形如 $|x-a|-|x-b|\le c$ 的不等式，其左端在几何上代表数轴上动点 $x$ 到两定点 $a,b$ 的距离之差。利用双绝对值函数的图象是一条“Z”字形折线的空间几何特征，可以直接通过数形结合判断出交点，从而实现一步肉眼快速得出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式 类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式

• 2013-重庆卷理-16 填-绝对值不等式

• 2014-广东卷理-09 填-绝对值不等式