2012-广东卷理-15 填-圆的切线

本题导读

本题考查圆周角定理与圆心角的关系，以及圆的切线的性质。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 如图，圆 $O$ 的半径为 1， $A,B,C$ 是圆周上的三点，满足 $\angle ABC=30^{\circ }$，过点 $A$ 作圆 $O$ 的切线与 $OC$ 的延长线交于点 $P$，则 $PA=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因为同一条弧 $AC$ 所对的圆心角是圆周角的两倍，已知圆周角 $\angle ABC=30^{\circ }$，所以圆心角 $\angle AOC=2\angle ABC=60^{\circ }$。
2. 因为 $PA$ 是圆 $O$ 的切线， $OA$ 为过切点的半径，所以根据切线的性质可知 $OA\perp PA$，即 $△OAP$ 是一个直角三角形。
3. 在直角三角形 $△OAP$ 中，已知直角边（半径） $OA=1$ 且锐角 $\angle AOP=60^{\circ }$，利用正切函数关系即可直接求出未知直角边 $PA$ 的长。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

连接 $OA$。

因为 弧 $AC$ 所对的圆周角为 $\angle ABC=30^{\circ }$， 所以 根据同弧所对圆心角与圆周角的关系定理，其对应的圆心角满足： $\angle AOC=2\angle ABC=2\times 30^{\circ }=60^{\circ }$ 即 $\angle AOP=60^{\circ }$。

because $PA$ 是圆 $O$ 的切线，且 $OA$ 为圆 $O$ 连通切点 $A$ 的半径， 所以 根据圆切线的性质定理满足： $OA\perp PA⟹\angle OAP=90^{\circ }$ 说明 $△OAP$ 是以 $\angle OAP$ 为直角的直角三角形。

因为 在直角三角形 $△OAP$ 中，圆的半径满足 $OA=1$，且锐角 $\angle AOP=60^{\circ }$， 所以 根据直角三角形的锐角三角函数定义满足： $\tan \angle AOP=\frac{PA}{OA}⟹\tan 60^{\circ }=\frac{PA}{1}$

因为 特殊角的正切值满足 $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$， 所以 代入解得切线长： $PA=\sqrt{3}$

故答案为：$\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆周角定理的弧度转化、切线与半径的垂直几何构型、特殊角直角三角形求解。
2. 核心方法：辅助线半径构造法。处理圆的切线问题时，无条件连接圆心与切点构造直角，是攻克此类平面几何小题的不二大招。
3. 避坑指南：

• 因为已知条件给出了 $\angle ABC$，部分考生在缺乏图形直观支撑时，容易直接把 $\angle ABC$ 当作直角三角形内部的锐角进行计算。务必牢记圆周角不能直接在圆心处的直角三角形中套用，必须先利用二倍关系转化为圆心角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》几何背景及初中数学《圆》的常规基础复习填空题。
2. 结论推广：对于任意半径为 $R$ 的圆，若已知同弧所对圆周角为 $\theta$，过弧一端点的切线与另一端点半径延长线交于点 $P$，由该对称构型推广，其切线长 $PA$ 的代数通式恒表现为确定的显式三角函数乘积模型： $PA\equiv R\cdot \tan (2\theta )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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