2012-新课标卷文-09 单-三角函数对称性

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及对称轴。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 已知 $\omega >0$，$0<\phi <\pi$，直线 $x=\frac{\pi }{4}$ 和 $x=\frac{5\pi }{4}$ 是函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ 图象的两条相邻的对称轴，则 $\phi =$()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{3\pi }{4}$

🔍【思路分析】

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相邻对称轴相距 $\pi$，$T=2\pi$，$\omega =1$；$x=\frac{\pi }{4}$ 为对称轴，$\frac{\pi }{4}+\phi =\frac{\pi }{2}$，$\phi =\frac{\pi }{4}$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

正弦函数相邻两条对称轴之间的距离为半个周期：$\frac{T}{2}=\frac{5\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\pi$，故 $T=2\pi$，$\omega =\frac{2\pi }{T}=1$。

于是 $f(x)=\sin (x+\phi )$。$x=\frac{\pi }{4}$ 为对称轴，即 $\frac{\pi }{4}+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$

$\phi =\frac{\pi }{4}+k\pi$。结合 $0<\phi <\pi$，取 $k=0$，得 $\phi =\frac{\pi }{4}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数的对称轴与周期；由图象特征求参数

核心方法：“相邻对称轴间距 $=\frac{T}{2}$“定 $\omega$ → 代轴定 $\phi$ → 区间定解

避坑指南：①相邻对称轴（不是相邻最值点）间距是 $\frac{T}{2}$；②代轴时 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$，$k$ 要结合 $\phi$ 的范围取舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由对称性求 $\omega ,\phi$，与 2013 年四川卷文第 6 题（图象定参）、2013 年大纲卷理第 12 题（对称性与最值）同族。

结论推广：一般地，$f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ 的对称轴满足 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$，对称中心满足 $\omega x+\phi =k\pi$。

方法推广：三角图象题把”对称轴/中心/最值点”全部翻译成 $\omega x+\phi$ 的等式，再解方程组取区间内解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-06 单-三角函数图象定参
• 2013-大纲卷理-12 单-三角函数对称性与最值