2010-湖北卷文-02 单-正弦型函数的周期

本题导读

考查正弦型函数周期。$f(x)=\sqrt{3}\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)$ 中 $\omega =\frac{1}{2}$，$T=\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)$（$x\in \mathbf{R}$）的最小正周期为()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　　C. $2\pi$　　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 相位中 $x$ 的系数即 $\omega =\frac{1}{2}$（常数 $\sqrt{3}$ 与 $-\frac{\pi }{4}$ 不影响周期）。
2. $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)$ 是正弦型函数，其中相位 $\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}$ 中 $x$ 的系数为 $\omega =\frac{1}{2}$. 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{1/2}=4\pi .$ 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数的周期

核心方法：由 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 反解 $\omega =\frac{1}{2}$，再得 $T=4\pi$

避坑指南：$f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$；$\omega =\frac{1}{2}$ 时 $T=4\pi$，别把 $\omega$ 与 $T$ 记反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的周期由角频率 $\omega$ 唯一决定。

结论推广：$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，$\omega$ 越小周期越长。

方法推广：求周期先认准 $\omega$ 是 $x$ 前的系数，与振幅 $A$、初相 $\phi$ 无关。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-04 单-三角函数周期
• 2012-北京卷文-15 解-三角化简周期与单调
• 2011-天津卷文-07 单-三角函数图象性质
• 2012-新课标卷文-09 单-三角函数对称性