2012-新课标卷文-10 单-等轴双曲线

本题导读

本题考查等轴双曲线，以及抛物线的准线。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 等轴双曲线 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，$C$ 与抛物线 $y^2=16x$ 的准线交于 $A$，$B$ 两点，$|AB|=4\sqrt{3}$，则 $C$ 的实轴长为()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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准线 $x=-4$，代入 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$ 得 $|AB|=\frac{2\sqrt{3}{a}^2}{a}=2\sqrt{3}a=4\sqrt{3}$，$a=2$，实轴长 $4$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=16x$ 中 $2p=16$，准线为 $x=-4$。

等轴双曲线（焦点在 $x$ 轴）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$。代入 $x=-4$：$\frac{16}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$，得 $y^2=16-a^2$，$y=\pm \sqrt{16-a^2}$。

$|AB|=2\sqrt{16-a^2}=4\sqrt{3}$，两边平方：$16-a^2=12$，$a^2=4$，$a=2$。

实轴长 $2a=4$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等轴双曲线的标准方程；抛物线的准线；弦长计算

核心方法：准线定 $x$ → 代入双曲线解出 $y$ → 用 $|AB|$ 列方程求 $a$

避坑指南：①等轴双曲线两半轴相等，$x^2-y^2=a^2$；②实轴长是 $2a$ 不是 $a$；③焦点在 $x$ 轴时准线 $x=-4$ 交到的弦关于 $x$ 轴对称。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线与抛物线结合的小题，与 2013 年天津卷文第 11 题（抛物线与双曲线）同族。

结论推广：一般地，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 与直线 $x=t$ 交点纵坐标满足 $y^2=b^2\left(\frac{t^2}{a^2}-1\right)$，弦长 $=2|y|$。

方法推广：圆锥曲线交弦问题标准流程：写直线 → 联立 → 用对称性写弦长 → 解方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-11 填-抛物线与双曲线
• 2013-重庆卷文-10 单-双曲线离心率范围