2012-新课标卷文-16 填-奇函数最值之和

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及最值之和。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 设函数 $f(x)=\frac{(x+1{)}^2+\sin x}{x^2+1}$ 的最大值为 $M$，最小值为 $m$，则 $M+m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$f(x)=1+\frac{2x+\sin x}{x^2+1}$，$g(x)=\frac{2x+\sin x}{x^2+1}$ 为奇函数，$M+m=2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

把分子拆开：$(x+1{)}^2+\sin x=x^2+1+2x+\sin x$。

$f(x)=\frac{x^2+1+2x+\sin x}{x^2+1}=1+\frac{2x+\sin x}{x^2+1}$

记 $g(x)=\frac{2x+\sin x}{x^2+1}$：$g(-x)=\frac{-2x-\sin x}{x^2+1}=-g(x)$，是奇函数。

奇函数若有最大值 $A$ 与最小值 $B$，则 $A+B=0$（在对称点取值互为相反数，且最值可达时成立）。

故 $M+m=\left[1+\max g\right]+\left[1+\min g\right]=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数的最值性质；函数解析式的同构变形

核心方法：“常数分离 + 奇函数配对”：把 $f$ 拆成常数 + 奇函数

避坑指南：①关键一步是把 $(x+1{)}^2$ 拆成 $(x^2+1)+2x$，拆错了全盘皆输；②结论 $M+m=2$ 只依赖”常数 + 奇函数”的结构，不需要真求出最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数构造求最值之和的名题，与 2013 年山东卷文第 3 题、2014 年安徽卷文第 14 题（奇函数性质）同族。

结论推广：一般地，若 $f(x)=c+g(x)$，$g$ 为奇函数且最值可达，则 $M+m=2c$。

方法推广：看到”最大值 + 最小值”先想奇偶配对：尝试把函数拆成”常数 + 奇函数（或关于某点对称）”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-09 单-奇函数求值
• 2014-安徽卷文-14 填-奇函数周期