2014-安徽卷文-14 填-奇函数周期

本题导读

$f(\frac{29}{4})$、$f(\frac{41}{6})$ 各减去 4 的倍数拉回 $(-2,2]$，再用 $f(-x)=-f(x)$ 落回 $[0,2]$ 的解析式。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 若函数 $f(x)$（$x\in \mathbf{R}$）是周期为 $4$ 的奇函数，且在 $[0,2]$ 上的解析式为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x(1-x),& 0⩽x⩽1,\\ \sin \pi x,& 1<x⩽2,\end{array}$ 则 $f\left(\frac{29}{4}\right)+f\left(\frac{41}{6}\right)=$ $\underline{}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{29}{4}$ 减 $4$ 得 $\frac{13}{4}$，大于 2 用奇性；$\frac{41}{6}$ 减 $4$ 得 $\frac{17}{6}$ 同理。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{5}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

$f\left(\frac{29}{4}\right)=f\left(\frac{13}{4}\right)=f\left(-\frac{3}{4}\right)=-f\left(\frac{3}{4}\right)=-\frac{3}{4}\left(1-\frac{3}{4}\right)=-\frac{3}{16}$。 $f\left(\frac{41}{6}\right)=f\left(\frac{17}{6}\right)=f\left(-\frac{7}{6}\right)=-f\left(\frac{7}{6}\right)=-\sin \frac{7\pi }{6}=-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$。 故 $f\left(\frac{29}{4}\right)+f\left(\frac{41}{6}\right)=-\frac{3}{16}+\frac{8}{16}=\frac{5}{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的奇偶性与周期性

2. 核心方法：周期化简 + 奇性变号

3. 避坑指南：周期是 $4$，$\frac{29}{4}-4=\frac{13}{4}>2$ 还要再用奇性（不能停在大于 2 的区间）；$\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2}$ 的负号经 $f(-x)=-f(x)$ 翻转为正，两次变号容易错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 周期奇函数求值是分段函数与性质结合的常规题。

2. 结论推广: 对周期 $T$ 的奇函数：$f\left(\frac{T}{2}+x\right)=-f(x)$ 等衍生性质可加速化简。

3. 方法推广: 求值流程：减周期 → 落入对称区间 → 奇性变号 → 代解析式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-15 填-分段函数
• 2014-福建卷理-07 单-分段函数的解析式与图象