2012-新课标卷文-22 解-圆与相似三角形

本题导读

本题考查三角形中位线定理。核心在于中位线法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） （选修 4-1：几何证明选讲）如图，$D$，$E$ 分别为 $△ABC$ 边 $AB$，$AC$ 的中点，直线 $DE$ 交 $△ABC$ 的外接圆于 $F$，$G$ 两点. 若 $CF\parallel AB$，证明：

(1) $CD=BC$；

(2) $△BCD\sim △GBD$.

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🔍【思路分析】

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(1) 由中位线与 $CF\parallel AB$ 构造平行四边形，再以”平行弦夹等弧”得 $BC=AF=CD$；(2) $GB=BD$ 且 $\angle DGB=\angle DBC$，两角对应相等得相似。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) $D$、$E$ 分别为 $AB$、$AC$ 中点，故 $DE\parallel BC$，即 $DF\parallel BC$。

又 $CF\parallel AB$，即 $CF\parallel BD$，故四边形 $BCFD$ 是平行四边形，$CF=BD=AD$。

于是 $CF\parallel AD$ 且 $CF=AD$，四边形 $ADCF$ 是平行四边形，$CD=AF$。

因 $CF\parallel AB$，由”圆中平行弦夹等弧”得 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AF}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{CB}}$，故 $AF=BC$。

所以 $CD=BC$。

(2) 由 $FG\parallel BC$（$F$、$G$ 在直线 $DE$ 上），“平行弦夹等弧”得 $\stackrel{⌢}{\mathrm{GB}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{FC}}$，故 $GB=FC$。

由 (1) 知 $BD=FC$，故 $GB=BD$，$△GBD$ 是等腰三角形，$\angle BGD=\angle BDG$。

$\angle DGB$（即 $\angle FGB$）与 $\angle EFC$ 分别是弦 $GB$、$FC$ 所对的圆周角，而 $\stackrel{⌢}{\mathrm{GB}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{FC}}$，故 $\angle DGB=\angle EFC$。

又 $EF\parallel BC$，$\angle EFC=\angle FCB$（内错角）；$\angle FCB=\angle DBC$（内错角，$CF\parallel DB$）。

所以 $\angle BGD=\angle DBC$。结合 $\angle BDG=\angle BDC$（等腰底角对应），

$△BCD\sim △GBD$（两角对应相等）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：中位线定理；平行四边形的判定与性质；圆中平行弦夹等弧；相似三角形的判定

核心方法：中位线定平行 → 平行四边形转线段 → 等弧转等弦 → 等腰 + 两角相似

避坑指南：①”平行弦夹等弧”是圆内证弦相等的利器（$CF\parallel AB\Rightarrow \stackrel{⌢}{\mathrm{AF}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{CB}}$，$FG\parallel BC\Rightarrow \stackrel{⌢}{\mathrm{GB}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{FC}}$）；②相似对应顶点顺序 $B\leftrightarrow G$、$C\leftrightarrow B$、$D\leftrightarrow D$，书写时别排错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何证明选讲基础题，与 2013 年新课标Ⅰ文第 22 题（几何证明选讲）、2014 年新课标Ⅰ文第 22 题（圆内接四边形）同族。

结论推广：一般地，圆中两弦平行 $⟺$ 其夹的四段弧两两相等 $⟺$ 夹在中间的两弦相等。

方法推广：圆的证明题武器库：等弧对等弦/等角、平行弦夹等弧、圆周角定理；先转弦等或角等，再向相似或全等收口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲
• 2014-新课标I卷文-22 解-圆内接四边形