2012-江苏卷-14 填-对数不等式与比值范围

本题导读

本题考查对数不等式，以及线性不等式组与比值取值范围。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 已知正数 $a,b,c$ 满足：$5c-3a⩽b⩽4c-a$，$c\ln b⩾a+c\ln c$，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是　　.

🔍【思路分析】

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换元后 $\frac{b}{a}⩽7$（$r=\frac{1}{2}$ 取到），$\frac{b}{a}⩾\mathrm{e}$（$r=1,t=\mathrm{e}$ 取到），故取值范围为 $[\mathrm{e},7]$。

✅【答案】

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$[\mathrm{e},7]$

✍【详细解析】

Abstract

令 $r=\frac{a}{c}>0$，$t=\frac{b}{c}>0$。题设的两个线性不等式化为 $5-3r⩽t⩽4-r$，而对数不等式化为 $\ln t⩾r$。

由 $5-3r⩽4-r$，得 $r⩾\frac{1}{2}$。又由 $t⩽4-r$，有 $\frac{b}{a}=\frac{t}{r}⩽\frac{4-r}{r}=\frac{4}{r}-1⩽7$。

另一方面，$\ln t⩾r>0$，所以 $t>1$，且 $r⩽\ln t$。令 $g(t)=\frac{t}{\ln t}$（$t>1$），则 $g^{\prime }(t)=\frac{\ln t-1}{(\ln t{)}^2}$，当 $1<t<\mathrm{e}$ 时 $g^{\prime }(t)<0$，当 $t>\mathrm{e}$ 时 $g^{\prime }(t)>0$，所以 $g(t)$ 在 $t=\mathrm{e}$ 处取得最小值 $\mathrm{e}$。因此 $\frac{b}{a}=\frac{t}{r}⩾\frac{t}{\ln t}⩾\mathrm{e}$。

下界可以取得：取 $r=1$，$t=\mathrm{e}$，则 $5-3r=2⩽\mathrm{e}⩽3=4-r$，且 $\ln t=r$，所以 $\frac{b}{a}=\mathrm{e}$。上界也可以取得：取 $r=\frac{1}{2}$，$t=\frac{7}{2}$，则两个线性不等式均取等号，且 $\ln \frac{7}{2}>\frac{1}{2}$，所以 $\frac{b}{a}=7$。

中间值也可取得：令 $s\in [0,1]$，$r_s=1-\frac{s}{2}$，$t_s=\mathrm{e}+s\left(\frac{7}{2}-\mathrm{e}\right)$。由 $\ln t$ 的凹性，$\ln t_s⩾(1-s)\ln \mathrm{e}+s\ln \frac{7}{2}=1+s\left(\ln \frac{7}{2}-1\right)⩾1-\frac{s}{2}=r_s$，所以 $(r_s,t_s)$ 始终满足全部条件，比值 $t_s/r_s$ 关于 $s$ 连续，可取得 $\mathrm{e}$ 与 $7$ 之间的每一个值。

故所求取值范围为 $[\mathrm{e},7]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：齐次化换元（比值结构）；$g(t)=\frac{t}{\ln t}$ 的最值；取值范围端点的可达性验证

核心方法：三个正数两个条件 → 除以 $c$ 降元 → 线性条件给上界、对数条件给下界 → 连续性补中间值

避坑指南：求出上下界还必须验证”取得到”：下界取 $(r,t)=(1,\mathrm{e})$、上界取 $\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)$；只求不等式不验证可达性会误答开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多元比值取值范围压轴题，与 2012 年上海卷文第 20 题（对数不等式）同族，属江苏卷填空压轴风格。

结论推广：$\frac{t}{\ln t}$ 在 $(1,+\infty )$ 上的最小值为 $\mathrm{e}$（$t=\mathrm{e}$ 处），这一结论在对数型比值估计中反复出现；齐次条件组用换元降元是通用起手。

方法推广：多变量比值范围题：先齐次化换元减少变量 → 拆成几个单向不等式分别估计 → 最后专门论证端点与中间值的可达性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-江西卷文-11 填-分式不等式解集
• 2012-陕西卷文-12 填-归纳推理不等式