2012-江西卷文-11 填-分式不等式解集

本题导读

本题考查分式不等式的解法，以及一元三次不等式。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 不等式 $\frac{x^2-9}{x-2}>0$ 的解集是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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化为 $\frac{(x-3)(x+3)}{x-2}>0$，解集为 $(-3,2)\cup (3,+\infty )$。

✅【答案】

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$(-3,2)\cup (3,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

原不等式等价于 $\frac{(x-3)(x+3)}{x-2}>0$，即 $(x-3)(x+3)(x-2)>0$。

三个零点从小到大为 $-3,2,3$，奇次穿根：

当 $x>3$ 时三个因式全正，积为正；当 $2<x<3$ 时积为负；当 $-3<x<2$ 时积为正；当 $x<-3$ 时积为负。

故解集为 $(-3,2)\cup (3,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式转化为整式不等式（同号相除）；三次因式积的符号讨论

核心方法：先通分把右边化为 $0$，分子分解因式，再按零点分段讨论符号（穿根法）

避坑指南：本题分子已是 $x^2-9$，切勿去分母时忽略 $x-2$ 的符号（不能直接两边乘 $x-2$）；分母零点 $x=2$ 处无定义，解集中必须排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式不等式求解题，与 2012 年重庆卷文第 2 题、2013 年上海卷文第 1 题同族。

结论推广：$\frac{f(x)}{g(x)}>0⟺f(x)g(x)>0$（$g(x)\ne 0$ 自动满足）；奇次因式穿根、偶次因式不穿。

方法推广：分式不等式一律先化为”分式与 0 比大小”，再转整式多项式用穿根法，注意排除分母零点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-02 单-分式不等式的解集
• 2013-上海卷文-01 填-分式不等式
• 2013-江西卷文-06 单-分式不等式链