2012-陕西卷文-12 填-归纳推理不等式

本题导读

本题考查归纳推理，以及数列求和的规律观察。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 观察下列不等式：

$1+\frac{1}{2^2}<\frac{3}{2}$，$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}<\frac{5}{3}$，$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}<\frac{7}{4}$，

$\cdots \cdots$

照此规律，第五个不等式为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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已给不等式对应 $n=2,3,4$，右边 $\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{7}{4}$ 即 $\frac{2n-1}{n}$；第五个对应 $n=6$：$1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{6^2}<\frac{11}{6}$。

✅【答案】

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$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}<\frac{11}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

观察已给的三个不等式：

第 $1$ 个：左边加到 $\frac{1}{2^2}$，右边 $\frac{3}{2}=\frac{2\times 2-1}{2}$；

第 $2$ 个：左边加到 $\frac{1}{3^2}$，右边 $\frac{5}{3}=\frac{2\times 3-1}{3}$；

第 $3$ 个：左边加到 $\frac{1}{4^2}$，右边 $\frac{7}{4}=\frac{2\times 4-1}{4}$。

一般规律：第 $n$ 个不等式为 $1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}<\frac{2n-1}{n}$。

“第五个不等式”从 $n=2$ 数起，对应 $n=6$：

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}<\frac{2\times 6-1}{6}=\frac{11}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：归纳推理（由特殊到一般）；分数规律 $\frac{2n-1}{n}$ 的识别

核心方法：给已给各式编号，分别找”左边末项的下标”与”右边分子分母”随编号的变化规律，再写目标项

避坑指南：“第五个不等式”的计数起点：第一个不等式对应末项 $\frac{1}{2^2}$，所以第五个对应 $\frac{1}{6^2}$，不是 $\frac{1}{5^2}$；右边 $\frac{2n-1}{n}$ 的分母恰是末项下标 $n$，分子是 $2n-1$，不要写成 $\frac{n+1}{n}$ 或 $\frac{2n+1}{n}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：归纳推理填空题，与 2013 年陕西卷文第 13 题、2015 年陕西卷文第 16 题同族（陕西卷对归纳推理有稳定的考查偏好）。

结论推广：本题的背景是经典不等式 $1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}=\frac{2n-1}{n}$，可用裂项 $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$ 证明。

方法推广：归纳推理题三步：编号 → 列出”末项下标、右端结构”两个序列 → 写通项并代入目标编号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-13 填-归纳推理等式
• 2015-陕西卷文-16 填-归纳规律
• 2012-湖北卷文-17 填-三角形数归纳