2012-江苏卷-17 解-抛物线轨迹与射程

本题导读

本题考查二次函数的最值。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 如图，建立平面直角坐标系 $xOy$，$x$ 轴在地平面上，$y$ 轴垂直于地平面，单位长度为 $1$ 千米，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 $y=kx-\frac{1}{20}(1+k^2)x^2$（$k>0$）表示的曲线上，其中 $k$ 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1) 求炮的最大射程；

(2) 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 $3.2$ 千米，试问它的横坐标 $a$ 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

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🔍【思路分析】

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(1) 最大射程 $10$ 千米（$k=1$ 取到）；(2) 由 $5-\frac{a^2}{20}⩾3.2$ 得 $a⩽6$ 千米。

✅【答案】

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(1) 最大射程为 $10$ 千米；(2) $a$ 不超过 $6$ 千米

✍【详细解析】

Abstract

（1）炮弹落地时 $y=0$。除去发射点 $x=0$，由 $0=kx-\frac{1+k^2}{20}{x}^2$ 得射程

$R(k)=\frac{20k}{1+k^2}=10-\frac{10(k-1{)}^2}{1+k^2}⩽10$。

当且仅当 $k=1$ 时等号成立，所以炮的最大射程为 $10$ 千米。

（2）设飞行物的横坐标为 $a$。因为它在第一象限，所以 $a>0$。对固定的 $a$，轨迹在横坐标 $a$ 处的高度为

$y(k)=-\frac{a^2}{20}{k}^2+ak-\frac{a^2}{20}=\left(5-\frac{a^2}{20}\right)-\frac{a^2}{20}{\left(k-\frac{10}{a}\right)}^2$。

因此在 $k>0$ 中，最大高度为 $5-\frac{a^2}{20}$，且取得最大值时 $k=\frac{10}{a}>0$。由于当 $k$ 趋近于 $0$ 时高度为负值，炮弹可以达到高度 $3.2$ 千米的充要条件是 $5-\frac{a^2}{20}⩾3.2=\frac{16}{5}$。

整理得 $a^2⩽36$。结合 $a>0$，可知 $a⩽6$。所以横坐标 $a$ 不超过 $6$ 千米时，炮弹可以击中飞行物。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数配方求最值；“存在 $k$“到”最大高度”的等价转化

核心方法：固定 $a$ 把高度看成 $k$ 的二次函数，配方求最大值再解不等式

避坑指南：第 (2) 问是”存在发射方向”而非”所有方向”，必须取最大高度作比较；把条件写成对所有 $k$ 成立会得到过窄的范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线应用建模题，与 2012 年上海卷文第 21 题、2012 年陕西卷文第 14 题同族。

结论推广：轨迹 $y=kx-\frac{1+k^2}{20}{x}^2$ 中射程 $\frac{20k}{1+k^2}⩽10$ 与最大高度 $5-\frac{a^2}{20}$ 都是配方法的标准产物；涉及”击中/覆盖”的问题一般转化为二次函数最值不等式。

方法推广：应用型二次曲线题：先明确谁是变量谁是参数 → 配方求最值 → 把实际问题条件翻译成最值不等式，注意自变量的实际范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值
• 2012-陕西卷文-14 填-抛物线拱桥应用
• 2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线