2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线

本题导读

本题考查向量的模与数量积的坐标运算。核心在于坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 已知三点 $O(0,0)$，$A(-2,1)$，$B(2,1)$，曲线 $C$ 上任意一点 $M(x,y)$ 满足 $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=\overrightarrow{OM}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+2$.

(1) 求曲线 $C$ 的方程；

(2) 点 $Q(x_0,y_0)$（$-2<x_0<2$）是曲线 $C$ 上的动点，曲线 $C$ 在点 $Q$ 处的切线为 $l$，点 $P$ 的坐标是 $(0,-1)$，$l$ 与 $PA$，$PB$ 分别交于点 $D$，$E$，求 $△QAB$ 与 $△PDE$ 的面积之比.

🔍【思路分析】

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(1) $x^2=4y$。(2) $\frac{S_{△QAB}}{S_{△PDE}}=2$（对一切 $x_0\in (-2,2)$ 恒成立）。

✅【答案】

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(1) $x^2=4y$（$y⩾0$）；(2) $S_{△QAB}:S_{△PDE}=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=(-2x,2-2y)$，故左边 $=2\sqrt{x^2+(1-y{)}^2}$；$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(0,2)$，右边 $=2y+2$。

条件化为 $\sqrt{x^2+(1-y{)}^2}=y+1$，两边平方：$x^2+(1-y{)}^2=(y+1{)}^2$，

展开得 $x^2+1-2y+y^2=y^2+2y+1$，即 $x^2=4y$。

由方程知 $y=\frac{x^2}{4}⩾0$，此时 $y+1>0$，平方过程不产生增根。

故曲线 $C$ 的方程为 $x^2=4y$。

(2) 曲线 $C$：$y=\frac{x^2}{4}$，$y^{\prime }=\frac{x}{2}$，故切线 $l$：$y=\frac{x_0}{2}x-\frac{y_0}{2}$，其中 $y_0=\frac{x_0^2}{4}$。

直线 $PA$：过 $(0,-1)$ 与 $(-2,1)$，即 $y=-x-1$；直线 $PB$：$y=x-1$。

联立 $l$ 与 $PA$：$\frac{x_0}{2}x-\frac{x_0^2}{4}=-x-1$，解得 $x_D=\frac{x_0-2}{2}\in (-2,0)$；

联立 $l$ 与 $PB$：$\frac{x_0}{2}x-\frac{x_0^2}{4}=x-1$，解得 $x_E=\frac{x_0+2}{2}\in (0,2)$。

$S_{△QAB}$：底 $|AB|=4$，高为 $Q$ 到直线 $y=1$ 的距离 $1-y_0=1-\frac{x_0^2}{4}$，故 $S_{△QAB}=\frac{1}{2}\times 4\times \left(1-\frac{x_0^2}{4}\right)=2-\frac{x_0^2}{2}$。

$S_{△PDE}$：$\angle DPE$ 即 $PA$ 与 $PB$ 的夹角。$\overrightarrow{PD}=\left(\frac{x_0-2}{2},-\frac{x_0}{2}\right)$，$\overrightarrow{PE}=\left(\frac{x_0+2}{2},\frac{x_0}{2}\right)$，二者方向分别平行于 $(-1,1)$、$(1,1)$，夹角为 $90^{\circ }$。

$|PD|=\frac{2-x_0}{2}\cdot \sqrt{2}$，$|PE|=\frac{x_0+2}{2}\cdot \sqrt{2}$，故 $S_{△PDE}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2-x_0)(x_0+2)}{2}\cdot 2=\frac{4-x_0^2}{4}=1-\frac{x_0^2}{4}$。

（其中 $|PD|\cdot |PE|=\frac{(2-x_0)(2+x_0)}{2}=\frac{4-x_0^2}{2}$，除以 $2$ 得面积。）

所以 $\frac{S_{△QAB}}{S_{△PDE}}=\frac{2-\frac{x_0^2}{2}}{1-\frac{x_0^2}{4}}=2$，比值为定值 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量模与数量积的坐标化；抛物线 $x^2=4y$ 的方程与切线（导数法）；直线交点；直角三角形面积

核心方法：向量条件坐标化直接得轨迹；切线用导数写斜率；两个三角形分别找”底与高”或用夹角 $90^{\circ }$ 算面积，约去公因式得定比

避坑指南：平方去根号后要说明不增根（$y+1>0$ 自动满足）；$Q$ 在 $(-2,2)$ 内时 $y_0<1$，$△QAB$ 的高是 $1-y_0$ 不是 $y_0-1$；$\angle DPE=90^{\circ }$ 是隐藏的简化条件，用错了底和高会把比值算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量轨迹与抛物线切线综合大题，与 2012 年福建卷文第 21 题、2012 年辽宁卷文第 12 题同族。

结论推广：$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ 当 $A$、$B$ 关于 $y$ 轴对称时等于 $2$ 倍”到 $AB$ 中点的某种距离”，条件常化成标准抛物线；过抛物线 $x^2=4y$ 上点 $(x_0,y_0)$ 的切线 $y=\frac{x_0}{2}x-\frac{y_0}{2}$。

方法推广：解析几何大题的”定值”信号：比值/和差与参数无关。策略是把各量都用 $x_0$ 表出，最后约分；中途多用几何结构（垂直、对称）减少运算量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-21 解-抛物线切线定点
• 2012-辽宁卷文-12 单-抛物线双切线
• 2013-北京卷文-09 填-抛物线焦点准线