2012-江西卷文-16 解-差角余弦与解三角形

本题导读

本题考查两角和与差的余弦公式。核心在于公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$.已知 $3\cos (B-C)-1=6\cos B\cos C$.

(1) 求 $\cos A$；

(2) 若 $a=3$，$△ABC$ 的面积为 $2\sqrt{2}$，求 $b$，$c$.

🔍【思路分析】

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(1) 条件化简得 $\cos (B+C)=-\frac{1}{3}$，故 $\cos A=\frac{1}{3}$。(2) $bc=6$、$b^2+c^2=13$、$b+c=5$，$(b,c)=(2,3)$ 或 $(3,2)$。

✅【答案】

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(1) $\cos A=\frac{1}{3}$；(2) $(b,c)=(2,3)$ 或 $(3,2)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 展开条件：$3(\cos B\cos C+\sin B\sin C)-1=6\cos B\cos C$，

整理得 $3\sin B\sin C-3\cos B\cos C=1$，即 $-3\cos (B+C)=1$，$\cos (B+C)=-\frac{1}{3}$。

由 $A+B+C=\pi$，$\cos A=\cos (\pi -(B+C))=-\cos (B+C)=\frac{1}{3}$。

(2) 由 (1)，$\sin A=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

$S=\frac{1}{2}bc\sin A=2\sqrt{2}$，故 $bc\cdot \frac{\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}$，$bc=6$。

余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，即 $9=b^2+c^2-2\times 6\times \frac{1}{3}$，$b^2+c^2=13$。

于是 $(b+c{)}^2=b^2+c^2+2bc=13+12=25$，$b+c=5$（取正）。

解 $\{\begin{array}{l}b+c=5\\ bc=6\end{array}$，得 $(b,c)=(2,3)$ 或 $(3,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：差角余弦的展开与重组；诱导公式 $\cos A=-\cos (B+C)$；面积公式与余弦定理的联合使用

核心方法：“展开—移项—凑角”把 $\cos (B-C)$ 化为 $\cos (B+C)$；(2) 中先用面积得 $bc$，再用余弦定理得 $b^2+c^2$，最后凑 $(b+c{)}^2$ 解一元二次

避坑指南：第 (1) 问不要急着用 $A+B+C=\pi$ 展开成半角；第 (2) 问由 $bc=6$、$b+c=5$ 解出的两组解 $(2,3)$、$(3,2)$ 都是合法答案（$b$、$c$ 地位对称），只写一组会扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换与解三角形综合大题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 17 题、2012 年浙江卷文第 18 题同族。

结论推广：$\cos (B-C)-3\cos B\cos C$ 型条件可重组出 $\cos (B+C)$；面积 $+\cos A+\sin A$ 三件套能把 $bc$、$b^2+c^2$、$b+c$ 全部凑齐。

方法推广：解三角形大题的标准链条：恒等变换定角 → 面积/余弦定理列 $bc$ 与 $b^2+c^2$ → 配凑 $(b\pm c{)}^2$ 定边，注意检验两组解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2012-重庆卷文-13 填-余弦定理与正弦定理