2012-江西卷文-18 解-古典概型与向量共面

本题导读

本题考查古典概型。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 如图，从 $A_1(1,0,0)$，$A_2(2,0,0)$，$B_1(0,1,0)$，$B_2(0,2,0)$，$C_1(0,0,1)$，$C_2(0,0,2)$ 这 $6$ 个点中随机选取 $3$ 个点.

(1) 求这 $3$ 点与原点 $O$ 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；

(2) 求这 $3$ 点与原点 $O$ 共面的概率.

!

🔍【思路分析】

破题导航

(1) $P_1=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。(2) 共面 12 种，$P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$（合集印 $\frac{3}{10}$ 为笔误）。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{1}{10}$；(2) $\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

从 $6$ 个点中选 $3$ 个，共有 ${\mathrm{C}}_6^3=20$ 种等可能选法。

(1) 以 $O$ 为顶点的正三棱锥，要求三条侧棱相等、底面为正三角形。三条侧棱只能同为 $\{A_1,B_1,C_1\}$（侧棱长 $1$，底边 $\sqrt{2}$）或同为 $\{A_2,B_2,C_2\}$（侧棱长 $2$，底边 $2\sqrt{2}$），共 $2$ 种。

故 $P_1=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$。

(2) 三个向量 $\overrightarrow{O{A}_i}$、$\overrightarrow{O{B}_j}$、$\overrightarrow{O{C}_k}$（$i,j,k$ 各取 $1$ 或 $2$）的分量组成对角矩阵，行列式不为 $0$，故”每条坐标轴各取一点”的选法不共面。

三点与 $O$ 共面当且仅当选法中含某一条坐标轴上的两个点（如 $A_1,A_2$，此时它们与 $O$ 共线，再加任一点必共面）。同轴点对有 $\{A_1,A_2\},\{B_1,B_2\},\{C_1,C_2\}$ 共 $3$ 对，每对再从其余 $4$ 点中任取 $1$ 个，共 $3\times 4=12$ 种，互不重复。

故 $P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。

（程序枚举 $20$ 种选法逐一验算行列式，共面恰为 $12$ 种，与网络多源官方解析一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型 ${\mathrm{C}}_6^3$ 计数；正三棱锥四顶点的识别；三点与原点共面的代数判别

核心方法：分类计数：正三棱锥按”侧棱长相等”配对；共面按”同轴两点对”分类，避免重复计数

避坑指南：共面选法的计数最易出错：漏掉”同轴对 + 第三点”中第三点取自另一条轴的情形会少算（合集答案印 $\frac{3}{10}$ 即只数了 $6$ 种）；而”同轴对 + 同轴第三点”不存在（每轴只有两点）。判别共面用向量行列式（坐标矩阵的秩 $⩽2$）最可靠。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型与空间向量综合题，与 2012 年山东卷文第 18 题、2012 年重庆卷文第 15 题同族。

结论推广：一般地，$n$ 条射线各 $2$ 点，从 $2n$ 点中取 $3$ 点与原点共面的选法数 $=n(2n-2)$（同轴对 $\times$ 其余点）；三点共面 $⟺$ 三向量线性相关（行列式为 $0$）。

方法推广：空间古典概型题：先定总数（组合数），再按几何条件分类——共线/共面/异面，用向量线性关系代数化判别，最后枚举或对称计数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-18 解-古典概型分类计数
• 2012-浙江卷文-12 填-古典概型概率
• 2012-重庆卷文-15 填-排列与古典概型