2012-江西卷理-04 单-解三角形

本题导读

本题考查三角函数的同角基本关系，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 若 $\tan \theta +\frac{1}{\tan \theta }=4$, 则 $\sin 2\theta =$ ()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 观察已知条件为 $\tan \theta$ 的和式，目标求解式为二倍角正弦 $\sin 2\theta$。
2. 二倍角公式为 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$。为了建立二者关联，可利用同角三角函数关系 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$，将已知条件实施“弦切互化”。
3. 展开已知等式通分化简，分子将出现平方和 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta$，利用其恒等于 1 的性质使分子坍缩为常数。
4. 此时分母形式恰好与二倍角正弦公式的基本代数元一致，通过两端等量代换即可直接锁定解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 根据同角三角函数的基本关系式，有 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$， 所以 倒数项可化为 $\frac{1}{\tan \theta }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$。

将上述弦函数表达式代入已知等式 $\tan \theta +\frac{1}{\tan \theta }=4$ 中： $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=4$

对左端进行同分母通分化简： $\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{\sin \theta \cos \theta }=4$

因为 根据同角三角函数的平方和关系，恒有 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$， 所以 代入上式可得： $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta }=4⟹\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{4}$

又因为 根据三角函数的二倍角正弦公式： $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

将已求得的 $\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{4}$ 代入二倍角公式中： $\sin 2\theta =2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

故选 D#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：同角弦切互化技术、平方和恒等式应用、二倍角正弦公式的基本结构对齐。
2. 核心方法：弦切互化法（切化弦）。
3. 避坑指南：

• 避免盲目去分母解关于 $\tan \theta$ 的一元二次方程。虽然解方程也能求出 $\tan \theta$ 的具体值再进而求 $\sin 2\theta$，但计算过程包含开平方及多值判定，极其繁琐。直接利用整体弦切转化能极大减少算力开销。
• 注意二倍角公式中的系数 2，不要漏乘而误选 (B)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第五章《三角恒等变换》中关于三角函数求值的典型高频核心题。
2. 结论推广：在三角恒等变换中，满足一个稳定的**“万能公式”万能倒数模型**：对任意非临界角，有 $\tan \theta +\frac{1}{\tan \theta }=\frac{2}{\sin 2\theta }$。利用该通用模型，若已知 $\tan \theta +\frac{1}{\tan \theta }=m$，则可直接快速得出得出 $\sin 2\theta =\frac{2}{m}$。代入本题参数 $m=4$，秒得 $\sin 2\theta =\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式 类题演练 (Links)

• 1977-福建卷-02(2)

• 2013-湖北卷理-17 解-正余弦定理

• 2025-新高考II卷-08 单-三角恒等变换