2012-江西卷理-10 单-异面直线角

本题导读

本题考查正四棱锥的几何性质，以及截面多面体的体积计算。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 如图，已知正四棱锥 $S-ABCD$ 所有棱长都为 1，点 $E$ 是侧棱 $SC$ 上一动点，过点 $E$ 垂直于 $SC$ 的截面将正四棱锥分成上、下两部分. 记 $SE=x(0<x<1)$，截面下面部分的体积为 $V(x)$，则函数 $y=V(x)$ 的图象大致为

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理清变量与函数关系：

• 截面由点 $E$ 垂直于 $SC$ 的平面截得。整个正四棱锥的总体积是一定值 $V_{\text{总}}$。
• 截面下面部分的体积为 $V(x)$，则截面上方包含顶点 $S$ 的多面体体积为 $V_{\text{上}}(x)=V_{\text{总}}-V(x)$。
• 因为 $V^{\prime }(x)=-V_{\text{上}}^{\prime }(x)$，且根据微积分基本原理，截面沿着 $SC$ 方向推进时，体积的变化率（导数）在数值上恰好正比于该位置的截面面积 $S(x)$。即： $V^{\prime }(x)=-S(x)$

2. 分析截面面积 $S(x)$ 的动态变化趋势：

• 当 $x\to 0$ 时（点 $E$ 接近顶点 $S$），截面退化为一个点，此时截面面积 $S(x)\to 0$，即 $V^{\prime }(0)\to 0$。这意味着在 $x=0$ 附近，函数图象的切线斜率应该趋于 0（切线水平）。
• 当 $x\to 1$ 时（点 $E$ 接近底面顶点 $C$），截面退化为过点 $C$ 且垂直于 $SC$ 的一条线或极小多面体边。此时截面面积 $S(x)\to 0$，即 $V^{\prime }(1)\to 0$。这意味着在 $x=1$ 附近，函数图象的切线斜率也应当趋于 0（切线水平）。

3. 寻找特殊变化转折点：

• 截面面积 $S(x)$ 从 $S$ 出发先变大，通过某个临界位置（过点 $B,D$ 的截面）后面积达到最大值，随后向点 $C$ 推进时面积再逐渐减小。
• 对应到 $y=V(x)$ 的图象上，其切线斜率绝对值 $|V^{\prime }(x)|=S(x)$ 应当呈现“先变大后变小”的特征。结合 $V(x)$ 随 $x$ 的增大而减小（减函数），图象在中间段应当最陡峭，两端 $x=0$ 和 $x=1$ 处最平缓。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

根据空间几何体体积的微积分原理，当截面垂直于轴线（此处为侧棱 $SC$）推进时，体积关于推进距离 $x$ 的瞬时变化率（导数）在数值上等于当前截面的面积。 由于 $V(x)$ 表示的是截面下面部分的体积，随着 $x=SE$ 的增大，截面上移，上半部分体积减小，下半部分体积增大。 等等，重新审视题目：截面下面部分的体积为 $V(x)$。

• 当 $x\to 0$ 时，点 $E$ 接近 $S$，截面将正四棱锥分成的“上部分”变为整个棱锥，“下部分”为空，故 $V(0)$ 应当接近总体积 $V_{\text{总}}$。
• 当 $x\to 1$ 时，点 $E$ 接近 $C$，截面下移到最底部，“下部分”体积趋于 0，故 $V(1)=0$。 因此， $V(x)$ 是关于 $x$ 的严格单调递减函数。四个选项均符合递减特征。

计算正四棱锥的总体积 $V_{\text{总}}$： 底面 $ABCD$ 是边长为 1 的正方形，面积 $S_{\text{底}}=1$。 连接 $AC,BD$ 交于点 $O_0$。 $AC=\sqrt{2}$，则 $A{O}_0=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 在 Rt$△S{O}_{0}A$ 中，棱长 $SA=1$，高 $h=S{O}_0=\sqrt{S{A}^2-A{O}_0^2}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 所以总体积为： $V_{\text{总}}=\frac{1}{3}\times S_{\text{底}}\times h=\frac{1}{3}\times 1\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ 当 $x\to 0$ 时， $V(0)=\frac{\sqrt{2}}{6}$，四幅图起点均在 $\frac{\sqrt{2}}{6}$。

利用导数思维分析图象两端的切线斜率特征： 设截面面积为 $S(x)$，则根据微积分基本定理： $V^{\prime }(x)=-S(x)$

• 在 $x\to 0$ 附近（靠近顶点 $S$）： 截面是一个由顶点 $S$ 处的四个侧面约束出的微型四边形，当 $x\to 0$ 时，该四边形坍缩为一个点，其面积 $S(x)\to 0$。 由于 $V^{\prime }(x)=-S(x)$，当 $x\to 0$ 时， $V^{\prime }(x)\to 0$。 反映在函数图象上， 在 $x=0$ 处的切线应当是水平的（斜率为0），曲线发展呈现平缓起步。 排除 C, D（C, D 在 $x=0$ 处的切线斜率明显不为0，属于直线倾斜起步）。

• 在 $x\to 1$ 附近（靠近顶点 $C$）： 由于正四棱锥各棱长均为 1，每一个侧面（如 $△SBC$ 和 $△SDC$）都是正三角形。 当截面过点 $E$ 且垂直于 $SC$ 时，在侧面 $△SBC$ 内，截面交线 $EF\perp SC$。因为 $△SBC$ 是正三角形， $\angle SCB=60^{\circ }$，所以当点 $E$ 逼近点 $C$ 时，这条垂直于 $SC$ 的截面最终会撞击到底面边界之外，或者说其截面形状在跨越中间某个关键点（过 $B,D$ 的临界位置，此时 $x=\frac{1}{2}$）后，截面边缘会迅速脱离侧棱，面积 $S(x)$ 呈现加速缩减直至归零的态势。 具体而言，当 $x\to 1$ 时（即点 $E$ 到达点 $C$），截面退化为点 $C$ 处的孤立几何元，截面面积 $S(x)\to 0$。 由于 $V^{\prime }(1)=-S(1)=0$， 在 $x=1$ 处的切线同样应当是水平的（斜率为0），曲线靠岸时应当是平缓贴近 $x$ 轴。 对比选项 (A) 和 (B)：

• (A) 图中，曲线在 $x\to 1$ 处平缓贴合 $x$ 轴，切线趋于水平，满足 $V^{\prime }(1)=0$；

• (B) 图中，曲线在 $x\to 1$ 处是以一个明显的倾斜尖锐角度刺向 $x$ 轴，切线斜率不为 0。

因此，只有 (A) 图的几何变化趋势完全符合两端导数为 0 的特征。

故选 A#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：动态截面多面体体积函数、变化率的几何意义（微积分思维模型）、图象切线斜率的定性判定。
2. 核心方法：导数定性斜率法（变化率法）。对于立体几何中无法轻易写出解析式的动态体积、面积选择题，将“体积变化率”等价转化为“截面面积”进行定性趋势评估，是最高效的破题策略。
3. 避坑指南：

• 避免尝试去硬推 $V(x)$ 在 $x\in (0,1)$ 上的完整分段代数解析式。由于该截面在跨越 $x=\frac{1}{2}$ 前后，其交线所在的棱面会发生质变（由四边形变为三角形），硬推解析式不仅计算量极大，而且极易因空间几何因式错位而导致逻辑崩溃。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》与立体几何交汇的传统高考压轴选择题。
2. 结论推广：在现代数理解析中，该模型属于断层扫描体积积分（Tomographic Reconstruction）。对于任意凸多面体，其沿某一固定轴向推进的截面面积函数 $S(x)$ 必然在两端连续收敛于 0。由积分关系 $V(x)={\int }_x^{1}S(t)\text{d}t$ 可知，其体积累积函数 $V(x)$ 的图象在始发端和终点终端必定同时切于水平面。牢记这一“两端平缓，中间陡峭”的常规特征，可直接快速得出此类图形识别题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质 类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在

• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率

• 2014-重庆卷理-20 解-切线斜率