2012-江西卷理-16 填-充要条件

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法，以及零点分段讨论法。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 在实数范围内，不等式 $|2x-1|+|2x+1|\le 6$ 的解集为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 方法一：零点分段法（通用代数法）

• 令每个绝对值内部的因式为零，找出零点： $x=\frac{1}{2}$ 和 $x=-\frac{1}{2}$。
• 这两个零点将数轴划分为三个区间： $x<-\frac{1}{2}$、 $-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}$、 $x>\frac{1}{2}$。
• 分别在每个区间内讨论绝对值因式的正负号，去掉绝对值号转化为一元一次不等式组求解，最后将各区间的解集取并集。

2. 方法二：几何意义法（直观数形结合）

• 对方程变形，将自变量系数化为 1： $2\cdot \left(\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x+\frac{1}{2}\right|\right|\le 6⟹\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|\le 3$。
• 含义为：数轴上动点 $x$ 到两定点 $\frac{1}{2}$ 与 $-\frac{1}{2}$ 的距离之和不超过 3。
• 利用中点对称性与临界距离直接卡位求解边界。

✅【答案】

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$\left\{x|-\frac{3}{2}\le x\le \frac{3}{2}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：零点分段讨论法

令 $2x-1=0⟹x=\frac{1}{2}$；令 $2x+1=0⟹x=-\frac{1}{2}$。

① 当 $x<-\frac{1}{2}$ 时 此时 $2x-1<0$ 且 $2x+1<0$，去掉绝对值符号需变号： $-(2x-1)-(2x+1)\le 6⟹-2x+1-2x-1\le 6$ $-4x\le 6⟹x\ge -\frac{3}{2}$ 结合区间前提 $x<-\frac{1}{2}$，此时解集为： $-\frac{3}{2}\le x<-\frac{1}{2}$。

② 当 $-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}$ 时 此时 $2x-1\le 0$ 且 $2x+1\ge 0$： $-(2x-1)+(2x+1)\le 6⟹-2x+1+2x+1\le 6$ $2\le 6$ 该不等式恒成立。故此时区间内的所有实数均为解，解集为： $-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}$。

③ 当 $x>\frac{1}{2}$ 时 此时 $2x-1>0$ 且 $2x+1>0$： $(2x-1)+(2x+1)\le 6⟹4x\le 6⟹x\le \frac{3}{2}$ 结合区间前提 $x>\frac{1}{2}$，此时解集为： $\frac{1}{2}<x\le \frac{3}{2}$。

综上所述 将上述三种情况的解集取并集，串联合并可得最终解集为： $\left\{x|-\frac{3}{2}\le x\le \frac{3}{2}\right\}\text{或表示为}\left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]$

故答案为：$\left\{x|-\frac{3}{2}\le x\le \frac{3}{2}\right\}$（或 $\left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式的分段去绝对值逻辑、分类讨论的并集拼装。
2. 核心方法：零点分段讨论法。
3. 避坑指南：

• 使用分段讨论法时，每一段解出的不等式结果必须与当前所在的分段区间前提取交集，最后把各段符合条件的解取并集。
• 最终答案必须写成集合形式（如 $\{x\mid -\frac{3}{2}\le x\le \frac{3}{2}\}$）或区间形式（如 $\left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]$），不能直接写成普通不等式 $-\frac{3}{2}\le x\le \frac{3}{2}$，否则不符合“解集”的格式要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材选修4-5《不等式选讲》第一章绝对值不等式中关于双绝对值不等式求解的最经典主干基础填空题。
2. 结论推广：形如 $|x-a|+|x-b|\le c$ 的绝对值不等式，根据绝对值三角不等式，其左端的几何最小值恒为 $|a-b|$。只有当 $c\ge |a-b|$ 时，不等式才有解。本题中化简为 $\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|\le 3$，两定点间距离为 1，由于 $3\ge 1$，利用数轴对称性，超出段长度为 $\frac{3-1}{2}=1$，故左边界为 $-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}$，右边界为 $\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，利用此几何模型可直接免去分段讨论而快速锁定边界。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式 类题演练 (Links)

• 2011-山东卷理-04 单-充要条件

• 2011-广东卷理-09 填-充要条件

• 1977-黑龙江卷-01(2)