2012-江西卷理-19 解-期望

本题导读

本题考查古典概型。核心在于分类计数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 如图，从 $A_1(1,0,0)$, $A_2(2,0,0)$, $B_1(0,1,0)$, $B_2(0,2,0)$, $C_1(0,0,1)$, $C_2(0,0,2)$ 这 6 个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点 $O$ 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量 $V$（如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积 $V=0$）.

(1)求 $V=0$ 的概率；

(2)求 $V$ 的分布列及数学期望 $EV$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本事件总数：从 6 个已知点中任选 3 个，不考虑顺序，总组合数为 $C_6^3=20$。
2. 第一问分析 ($V=0$)：

• 体积为 0 说明 3 个点与原点共面。观察图象， 6 个点分布在三个坐标轴上。原点 $O$ 同时属于 $xOy,yOz,zOx$ 三个两两轴平面。
• 要让 3 个点与原点共面，这 3 个点必须全部选在某一个坐标轴平面内。
• 每个轴平面（如 $xOy$ 面）包含 4 个已知点。直接利用组合计数可以求出四点共面方案数，再由古典概型算出概率。

3. 第二问分析 ($V\ne 0$)：

• 当选出的 3 个点不与原点共面时，说明 $x,y,z$ 三个轴上各恰好选中了 1 个点。
• 此时“立体”是由原点 $O$ 以及三轴上各一个点组成的三棱锥（四面体）。由于三轴两两垂直，该三棱锥属于直角三棱锥，体积计算公式为： $V=\frac{1}{6}\cdot O{A}_i\cdot O{B}_j\cdot O{C}_k$。
• 依次代入不同的长度组合（1 或 2），算出所有可能的体积取值并分类计数，列出完整的分布列并求解期望。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

从 6 个点中随机选取 3 个点，所有的基本事件总数为： $N={\text{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20\text{ 种}$

（1）求 $V=0$ 的概率

要使“立体”的体积 $V=0$，根据题意，选取的 3 个点与原点 $O$ 必须在同一个平面内。 因为 这 6 个点分别位于 $x,y,z$ 三个坐标轴上， 所以 它们与原点所在的平面只能是 $xOy$ 面、 $yOz$ 面、 $zOx$ 面这三个坐标平面。

每个坐标平面上各包含 2 个轴，共有 4 个已知点。 若要 3 个点与原点共面，只需满足从某一个坐标平面内的 4 个已知点中随机抽取 3 个即可。 由于 3 个坐标平面两两交线为坐标轴，每个轴上只有 2 个点，故不存在“ 3 个点同时属于两个平面”的重复计数情况。 因此，体积为 0 的组合数满足： $M={\text{C}}_3^1\times {\text{C}}_4^3=3\times 4=12\text{ 种}$

根据古典概型公式， $V=0$ 的概率为： $P(V=0)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$

（2）求 $V$ 的分布列及数学期望 $EV$

当 $V\ne 0$ 时，所选取的 3 个点不能共面，因此必须在 $x,y,z$ 三个坐标轴上各独立选取 1 个点。 设选取的点分别为 $A_i,B_j,C_k$。因为坐标轴两两垂直，所以构成的四面体 $O-A_i{B}_j{C}_k$ 体积为： $V=\frac{1}{6}\cdot |O{A}_i|\cdot |O{B}_j|\cdot |O{C}_k|$

其中，各轴上线段长 $|O{A}_i|,|O{B}_j|,|O{C}_k|$ 的可能取值均为 1 或 2。 按三个长度的组合情况，体积 $V$ 存在以下四种非零可能取值：

1. 当选取的三个点距离均为 1 时（即选择 $A_1,B_1,C_1$）： $V=\frac{1}{6}\times 1\times 1\times 1=\frac{1}{6}$ 此种情况的组合数为： ${\text{C}}_1^1\times {\text{C}}_1^1\times {\text{C}}_1^1=1$ 种。其概率为 $P\left(V=\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{20}$。

2. 当选取的三个点中有两个距离为 1，一个距离为 2 时（形如长度组合 1, 1, 2）： $V=\frac{1}{6}\times 1\times 1\times 2=\frac{1}{3}$ 此种情况等价于从三个轴中任选一个轴取距离为 2 的点，其余两轴取 1。组合数为： ${\text{C}}_3^1\times {\text{C}}_1^1\times {\text{C}}_1^1\times {\text{C}}_1^1=3$ 种。其概率为 $P\left(V=\frac{1}{3}\right)=\frac{3}{20}$。

3. 当选取的三个点中有一个距离为 1，两个距离为 2 时（形如长度组合 1, 2, 2）： $V=\frac{1}{6}\times 1\times 2\times 2=\frac{2}{3}$ 此种情况等价于从三个轴中任选一个轴取距离为 1 的点，其余两轴取 2。组合数为： ${\text{C}}_3^1\times {\text{C}}_1^1\times {\text{C}}_1^1\times {\text{C}}_1^1=3$ 种。其概率为 $P\left(V=\frac{2}{3}\right)=\frac{3}{20}$。

4. 当选取的三个点距离均为 2 时（即选择 $A_2,B_2,C_2$）： $V=\frac{1}{6}\times 2\times 2\times 2=\frac{4}{3}$ 此种情况的组合数为： ${\text{C}}_1^1\times {\text{C}}_1^1\times {\text{C}}_1^1=1$ 种。其概率为 $P\left(V=\frac{4}{3}\right)=\frac{1}{20}$。

(自我校验：总数 $12+1+3+3+1=20$，计数完整无误)

离散型随机变量 $V$ 的分布列为：

$V$	0	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{4}{3}$
$P$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

根据数学期望定义公式计算 $EV$： $EV=0\times \frac{3}{5}+\frac{1}{6}\times \frac{1}{20}+\frac{1}{3}\times \frac{3}{20}+\frac{2}{3}\times \frac{3}{20}+\frac{4}{3}\times \frac{1}{20}$ $EV=0+\frac{1}{120}+\frac{3}{60}+\frac{6}{60}+\frac{4}{60}=\frac{1}{120}+\frac{13}{60}=\frac{1+26}{120}=\frac{27}{120}=\frac{9}{40}$

故答案为： （1） $V=0$ 的概率为 $\frac{3}{5}$； （2）分布列见解析，数学期望 $EV=\frac{9}{40}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共面基本事件的分类计数、直角三棱锥体积公式、离散期望的代数加权和。
2. 核心方法：

• 独立轴向分配计数法：在处理三维不共面问题时，将 3 个点的抽取转化为“三个互相独立的轴上各取 1 个元素”，能够完美杜绝重叠计数。

3. 避坑指南：

• 第一问计算共面时，必须明确每个轴平面是由两轴交汇组成的，因而包含该两轴上的所有 $2\times 2=4$ 个已知点，不能误写成 $C_2^3$。
• 第二问体积求和中，四面体的体积系数是 $\frac{1}{6}$ 而不是常见的三棱柱系数（ $\frac{1}{3}$ ），切勿背错基本公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布》中古典概型与离散期望计算的常规解答大题。
2. 结论推广：在代数几何中，由空间直角坐标轴上的截距点 $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$ 与原点围成的直角多面体被称为直角多胞形（Orthant Simplex）。其在 $n$ 维空间中的超体积通项公式满足 $V_n=\frac{1}{n!}\prod x_i$。掌握这一高等数学中的多维微积分外积模型，在面对类似三轴点选择题时能直接快速口算出任意组合下的体积边界。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略 类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-20

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列

• 2014-江西卷理-13 填-古典概型