2012-浙江卷理-20 解-线面平行与二面角

本题导读

本题考查线面平行的判定与二面角的求解，以及坐标法。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面是边长为 $2\sqrt{3}$ 的菱形，$\angle BAD=120^{\circ }$，且 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$PA=2\sqrt{6}$，$M,N$ 分别为 $PB,PD$ 的中点.

(1) 证明：$MN\parallel$ 平面 $ABCD$；

(2) 过点 $A$ 作 $AQ\perp PC$，垂足为点 $Q$，求二面角 $A-MN-Q$ 的平面角的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $M,N$ 是中点证 $MN\parallel BD$。

2. $BD\subset$ 平面 $ABCD$，故 $MN\parallel$ 平面。

3. 建系求二面角。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{3\sqrt{3}}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $M,N$ 分别为 $PB,PD$ 中点，$MN\parallel BD$，$BD\subset$ 平面 $ABCD$，故 $MN\parallel$ 平面 $ABCD$。

(2) 建系，求平面 $AMN$ 与平面 $MNQ$ 的法向量，夹角余弦 $=\frac{3\sqrt{3}}{11}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的判定

核心方法：二面角的求法

避坑指南：空间向量坐标法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于立体几何平行与角

结论推广：可推广到一般四棱锥

方法推广：中位线平行是证线面平行的常用手段

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-18乙 解-面面垂直的性质定理

• 2005-全国卷I理-18 解-平面与平面垂直的判定

• 2005-全国卷II理-16 填-正三棱锥的定义与性质