2012-湖北卷文-17 填-三角形数归纳

本题导读

本题考查三角形数，以及归纳推理。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：

!

将三角形数 $1,3,6,10,\cdots$ 记为数列 $\{a_n\}$，将可被 $5$ 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 $\{b_n\}$，可以推测：

(1)$b_{2012}$ 是数列 $\{a_n\}$ 中的第$\underline{}$项；

(2)$b_{2k-1}=$ $\underline{}$.（用 $k$ 表示）

🔍【思路分析】

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$a_{5k-1}$ 与 $a_{5k}$ 被 $5$ 整除，故 $b_{2k-1}=a_{5k-1}=\frac{5k(5k-1)}{2}$，$b_{2012}=b_{2\times 1006}=a_{5030}$。

✅【答案】

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(1)$5030$；(2)$\frac{5k(5k-1)}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

三角形数的通项为 $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$。

写出前若干项：$1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,\cdots$，其中能被 $5$ 整除的是 $10,15,45,55,105,120,\cdots$，对应的下标为 $4,5,9,10,14,15,\cdots$。

可见被 $5$ 整除的项按下标分成对出现：$a_{5k-1}$ 与 $a_{5k}$（$k$ 为正整数）。事实上 $n\equiv 0$ 或 $4(\mathrm{mod}5)$ 时，$n(n+1)$ 必含因子 $5$。

于是 $b_{2k-1}=a_{5k-1}=\frac{(5k-1)\cdot 5k}{2}=\frac{5k(5k-1)}{2}$，$b_{2k}=a_{5k}=\frac{5k(5k+1)}{2}$。

（1）$2012=2\times 1006$ 为偶数，故 $b_{2012}=b_{2\times 1006}=a_{5\times 1006}=a_{5030}$，即 $b_{2012}$ 是数列 $\{a_n\}$ 中的第 $5030$ 项；

（2）$b_{2k-1}=\frac{5k(5k-1)}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：归纳推理与猜想的提出；整除性对下标的限制

核心方法：先写通项，再列举找被 5 整除项的下标规律，最后按奇偶分档写出 b 的表达式

避坑指南：规律须成对出现：$b_{2k-1}$ 对应下标 $5k-1$、$b_{2k}$ 对应下标 $5k$，弄反奇偶就会把（1）答成 $5031$ 或把（2）写成 $\frac{5k(5k+1)}{2}$；$b_{2012}$ 的下标 $2012$ 是 $b$ 的序号，不是 $a$ 的下标。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：归纳推理与数列综合题，与 2013 年陕西卷文第 13 题、2013 年陕西卷理第 14 题同族。

结论推广：$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$ 能被 $5$ 整除的充要条件是 $n\equiv 0$ 或 $4(\mathrm{mod}5)$；由此 $b_{2k-1}=a_{5k-1}$，$b_{2k}=a_{5k}$。

方法推广：数列规律题三步：写通项、列前若干项、对下标按模分类；猜想给出后可用一两组数据回代验证。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-13 填-归纳推理等式
• 2013-陕西卷理-14 填-归纳推理的基本方法
• 2013-广东卷理-08 单-归纳推理与类比推理

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