2012-湖北卷文-18 解-三角函数对称轴与值域

本题导读

本题考查三角恒等变换。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 设函数 $f(x)={\sin }^2\omega x+2\sqrt{3}\sin \omega x\cdot \cos \omega x-{\cos }^2\omega x+\lambda$（$x\in \mathbf{R}$）的图象关于直线 $x=\pi$ 对称，其中 $\omega$，$\lambda$ 为常数，且 $\omega \in \left(\frac{1}{2},1\right)$.

(1)求函数 $f(x)$ 的最小正周期；

(2)若 $y=f(x)$ 的图象经过点 $\left(\frac{\pi }{4},0\right)$，求函数 $f(x)$ 的值域.

🔍【思路分析】

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$f(x)=2\sin \left(2\omega x-\frac{\pi }{6}\right)+\lambda$；由 $x=\pi$ 为对称轴得 $\omega =\frac{5}{6}$，$T=\frac{6\pi }{5}$；$\lambda =-\sqrt{2}$，值域 $[-2-\sqrt{2},2-\sqrt{2}]$。

✅【答案】

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(1)$T=\frac{6\pi }{5}$；(2)值域为 $[-2-\sqrt{2},2-\sqrt{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(x)=\frac{1-\cos 2\omega x}{2}+\sqrt{3}\sin 2\omega x-\frac{1+\cos 2\omega x}{2}+\lambda =\sqrt{3}\sin 2\omega x-\cos 2\omega x+\lambda =2\sin \left(2\omega x-\frac{\pi }{6}\right)+\lambda$。

由 $x=\pi$ 是图象的对称轴，得 $2\omega \pi -\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），即 $\omega =\frac{1}{3}+\frac{k}{2}$。

又 $\omega \in \left(\frac{1}{2},1\right)$，故 $k=1$，$\omega =\frac{5}{6}$。

所以最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{5/6}=\frac{6\pi }{5}$。

（2）此时 $f(x)=2\sin \left(\frac{5}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)+\lambda$。由图象过点 $\left(\frac{\pi }{4},0\right)$：

$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=2\sin \left(\frac{5\pi }{12}-\frac{\pi }{6}\right)+\lambda =2\sin \frac{\pi }{4}+\lambda =\sqrt{2}+\lambda =0$，得 $\lambda =-\sqrt{2}$。

故 $f(x)=2\sin \left(\frac{5}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{2}$，其值域为 $[-2-\sqrt{2},2-\sqrt{2}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角降幂公式；辅助角公式；正弦型函数的对称轴与值域

核心方法：先降幂合并成 $A\sin (\omega x+\phi )+\lambda$，再用对称轴方程解出 $\omega$（在给定区间内取值），最后代点定 $\lambda$

避坑指南：对称轴条件是"$\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$"（相位取到最值处），别误写成 $k\pi$；$\omega$ 有多解时必须在 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 内筛选，$k=0$ 给出的 $\frac{1}{3}$ 不合要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换与图象性质综合题，与 2013 年山东卷文第 18 题、2013 年北京卷文第 15 题同族。

结论推广：$a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$；${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$，${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$。

方法推广：三角解答题的标准起手式：降幂 → 辅助角合并 → 按对称轴（周期、单调区间等）定参数 → 再答其余各问。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-18 解-三角恒等变换对称
• 2013-北京卷文-15 解-三角恒等变换求角
• 2012-福建卷文-08 单-正弦函数对称轴