2013-北京卷文-15 解-三角恒等变换求角

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于降幂化一角一名、辅助角公式合并的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=\left(2{\cos }^{2}x-1\right)\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 4x$.

(1)求 $f(x)$ 的最小正周期及最大值;

(2)若 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，且 $f(\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $\alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 降幂与二倍角：$2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$，故 $f(x)=\frac{1}{2}\sin 4x+\frac{1}{2}\cos 4x$。
2. 辅助角公式合并为 $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(4x+\frac{\pi }{4}\right)$，周期与最大值直接读出。
3. (2) 令 $\sin \left(4\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=1$，得 $\alpha =\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{2}$，用 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 筛出 $k=1$。

✅【答案】

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(1) 最小正周期 $T=\frac{\pi }{2}$，最大值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) $\alpha =\frac{9\pi }{16}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由二倍角公式 $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$，得 $f(x)=\cos 2x\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 4x=\frac{1}{2}\sin 4x+\frac{1}{2}\cos 4x.$ 由辅助角公式 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(4x+\frac{\pi }{4}\right).$ 所以最小正周期 $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2},$ 最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。 (2) 由 $f(\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $\sin \left(4\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=1$，所以 $4\alpha +\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z},$ 即 $\alpha =\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{2}.$ 由 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$：$8<1+8k<16$，即 $7<8k<15$，故 $k=1$，于是 $\alpha =\frac{\pi }{16}+\frac{\pi }{2}=\frac{9\pi }{16}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与三角函数的图象性质

核心方法：降幂 $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$、正弦二倍角 $\sin 2x\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$，再用辅助角公式合并

避坑指南：两条主线合一：先化为一角一名 $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(4x+\frac{\pi }{4}\right)$ 再读性质；解 (2) 时 $k\in \mathbf{Z}$ 的通解别丢，最后用区间筛 $k$（$7<8k<15$ 只有 $k=1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换与 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的性质（全国卷高频解答题）。

结论推广：$\sin 2x\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$；$a\sin t+b\cos t=\sqrt{a^2+b^2}\sin (t+\phi )$，其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$。

方法推广：三角解答题通用起手：降幂 → 化同角同名 → 辅助角合并 → 按周期/最值/方程逐问作答，求角必验区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-16 填-三角函数最值
• 2014-上海卷文-12 填-三角方程