2013-山东卷文-18 解-三角恒等变换对称

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于降幂合并化一角一名r、定r的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 设函数 $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}{\sin }^2\omega x-\sin \omega x\cos \omega x$（$\omega >0$），且 $y=f(x)$ 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 $\frac{\pi }{4}$.

(1)求 $\omega$ 的值;

(2)求 $f(x)$ 在区间 $\left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 降幂：$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}(1-\cos 2\omega x)-\frac{1}{2}\sin 2\omega x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\omega x-\frac{1}{2}\sin 2\omega x=\cos \left(2\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$。
2. $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }$，$\frac{T}{4}=\frac{\pi }{4\omega }=\frac{\pi }{4}$ → $\omega =1$。
3. $x\in \left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$ → $2x+\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{13\pi }{6},\frac{19\pi }{6}\right]$，即 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]$（模 $2\pi$）。

✅【答案】

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(1) $\omega =1$；(2) 最大值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值 $-1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由二倍角公式： $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\cdot \frac{1-\cos 2\omega x}{2}-\frac{1}{2}\sin 2\omega x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\omega x-\frac{1}{2}\sin 2\omega x.$ 由辅助角公式（逆用余弦和角公式）： $f(x)=\cos \left(2\omega x+\frac{\pi }{6}\right).$ 其最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }$。余弦型图象的对称中心到最近对称轴的距离为 $\frac{T}{4}$，故 $\frac{T}{4}=\frac{\pi }{4\omega }=\frac{\pi }{4}⟹\omega =1.$ (2) 由 (1)，$f(x)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。当 $x\in \left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$ 时， $2x+\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{13\pi }{6},\frac{19\pi }{6}\right].$ 减去周期 $2\pi$，等价于 $\cos$ 的自变量取遍 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]$。 在 $\left[\frac{\pi }{6},\pi \right]$ 上 $\cos$ 单调递减，在 $\left[\pi ,\frac{7\pi }{6}\right]$ 上单调递增，所以：

• 最大值在左端点取得：$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，对应 $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{13\pi }{6}$，即 $x=\pi$；
• 最小值在 $\cos$ 的相位等于 $\pi$ 处取得：$2x+\frac{\pi }{6}=3\pi$，即 $x=\frac{17\pi }{12}\in \left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$，此处 $f=-1$。 所以 $f(x)$ 在 $\left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$ 上的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值为 $-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与图象性质

核心方法：$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}{\sin }^2\omega x-\sin \omega x\cos \omega x=\cos \left(2\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$；相邻对称中心与对称轴距离 $=\frac{T}{4}=\frac{\pi }{4\omega }=\frac{\pi }{4}$ → $\omega =1$

避坑指南：降幂后认准合并方向：$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\omega x-\frac{1}{2}\sin 2\omega x=\cos \left(2\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$；“对称中心到最近对称轴的距离”就是 $\frac{T}{4}$——别误当 $\frac{T}{2}$；区间最值把 $2x+\frac{\pi }{6}$ 整体代入后先化到 $[0,2\pi )$ 再看。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换与 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的性质（全国卷高频解答题）。

结论推广：${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$，$\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$；$a\cos t+b\sin t$ 型合并；正弦（余弦）型函数的对称中心到最近对称轴的距离为 $\frac{T}{4}$。

方法推广：三角解答题起手：降幂 → 辅助角合并 → 由 $\frac{T}{4}$ 定 $\omega$ → 整体代换求区间最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-15 解-三角恒等变换求角
• 2014-四川卷文-17 解-三角单调与求值