2012-湖北卷理-02 单-存在量词命题

本题导读

本题考查存在量词命题与全称量词命题，以及特称命题的否定形式。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)） 命题 “$\exists x_0\in {\complement }_{\mathbb{R}}\mathbb{Q},x_0^3\in \mathbb{Q}$” 的否定是()

A. $\exists x_0\notin {\complement }_{\mathbb{R}}\mathbb{Q},x_0^3\in \mathbb{Q}$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\exists x_0\in {\complement }_{\mathbb{R}}\mathbb{Q},x_0^3\notin \mathbb{Q}$

C. $\forall x_0\notin {\complement }_{\mathbb{R}}\mathbb{Q},x_0^3\in \mathbb{Q}$　　　　　　　　　　　　　　　D. $\forall x_0\in {\complement }_{\mathbb{R}}\mathbb{Q},x_0^3\notin \mathbb{Q}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别原命题类型：原命题带有存在量词 “$\exists$”，属于存在量词命题（特称命题），其标准代数结构为 $\exists x\in M,p(x)$。
2. 运用命题否定范式公式：根据常用逻辑用语的定义，存在量词命题的否定是全称量词命题。改写规则为：

• 将存在量词 “$\exists$” 替换为全称量词 “$\forall$”；
• 保持自变量的限定数集范围 $x_0\in {\complement }_{\mathbb{R}}\mathbb{Q}$ 完全不动；
• 对结论性质部分 $p(x)$ 执行否定，即把 $x_0^3\in \mathbb{Q}$ 改写为 $x_0^3\notin \mathbb{Q}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据特称命题与全称命题相互否定的转化定则，已知一个存在量词命题的形式若为： $p:\exists x_0\in M,A(x_0)$

则该命题的否定 $\neg p$ 严格定义为全称量词命题： $\neg p:\forall x_0\in M,\neg A(x_0)$

对照题目中给出的原命题：

• 存在量词变全称量词：“$\exists$” 转换为 “$\forall$”；
• 限定集合范围保持不变：仍然是 $x_0\in {\complement }_{\mathbb{R}}\mathbb{Q}$（注： ${\complement }_{\mathbb{R}}\mathbb{Q}$ 代表实数集中有理数集的补集，即无理数集。作非运算时，自变量的所属集合边界绝对不发生变动，因此 A、C 选项中将属于符号修改为不属于符号的作法属于原则性逻辑错误，直接排除）；
• 属性结论部分执行非运算：将 “$x_0^3\in \mathbb{Q}$” 否定为 “$x_0^3\notin \mathbb{Q}$”。

将上述三部分重新拼接组合，得到该命题的否定形式为： $\forall x_0\in {\complement }_{\mathbb{R}}\mathbb{Q},x_0^3\notin \mathbb{Q}$

对照各选项，D选项表述完全一致。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：存在量词与全称量词的对偶转换、量词命题否定的标准书写范式。
2. 核心方法：量词结论二分变换法。处理此类逻辑用语选择题，牢记“一变一否一不改”大招：变符号量词（ $\exists \leftrightarrow \forall$ ），否尾部结论（ $\in \leftrightarrow \notin$ 或 $=\leftrightarrow \ne$ ），绝对不改自变量属于集合的限定词（ $\in M$ ）。
3. 避坑指南：

• 错误修改集合归属符号：部分考生极易受到思维定势的干扰，误认为“否定”就是把所有符号全部反过来写，从而错把 $x_0\in {\complement }_{\mathbb{R}}\mathbb{Q}$ 改写成了 $x_0\notin {\complement }_{\mathbb{R}}\mathbb{Q}$，掉入 A、C 选项的陷阱中。切记集合范围是讨论的先决大前提（即论域），论域是不能被否定的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》中关于全称量词命题与存在量词命题否定的课后标准练习题。属于高考考查常用逻辑用语基本功的送分题。
2. 结论推广:

• 含参量词命题否定守恒模型：对于任意在特定集合空间 $\Omega$ 上的量词命题，其否定变换在形式语言中具有绝对的自反守恒性。
• 严格的代数映射公式恒满足： $\neg \left[\exists x\in \Omega ,P(x)\right]⟺\forall x\in \Omega ,\neg P(x)$ $\neg \left[\forall x\in \Omega ,P(x)\right]⟺\exists x\in \Omega ,\neg P(x)$
• 掌握此对偶守恒模型，无论尾部的代数式如何复杂（包含多元方程或不等式组合），均能通过两步走策略瞬时锁定正确选项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

• 01.01集合的含义、表示与基本运算 类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-07 单-命题否定

• 2009-天津卷理-03 单-命题

• 2013-四川卷文-04 单-全称命题否定