2012-湖北卷理-19 解-几何证明

本题导读

本题考查空间几何体的折叠问题。核心在于换元法、坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)） 如图 1， $\angle ACB=45^{\circ }$，$BC=3$，过动点 $A$ 作 $AD\perp BC$，垂足 $D$ 在线段 $BC$ 上且异于点 $B$，连接 $AB$，沿 $AD$ 将 $△ABD$ 折起，使 $\angle BDC=90^{\circ }$（如图 2 所示）.

(1) 当 $BD$ 的长为多少时，三棱锥 $A-BCD$ 的体积最大？

(2) 当三棱锥 $A-BCD$ 的体积最大时，设点 $E,M$ 分别为棱 $BC,AC$ 的中点，试在棱 $CD$ 上确定一点 $N$，使得 $EN\perp BM$，并求 $EN$ 与平面 $BMN$ 所成角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析折叠前后的变与不变：在图 1 中，由 $AD\perp BC$ 且 $\angle ACB=45^{\circ }$ 可知， $△ADC$ 是等腰直角三角形，因此 $AD=CD$。设 $BD=x$，则 $CD=3-x=AD$。在折叠后的图 2 中，由于 $AD\perp BD$ 且 $AD\perp CD$，且 $BD\cap CD=D$，故满足线面垂直判定定理 $AD\perp \text{平面 }BCD$，即 $AD$ 严格作为三棱锥 $A-BCD$ 的高。联立底面直角 $△BCD$ 的面积，将体积 $V$ 表示为关于 $x$ 的三次多项式，采用基本不等式或求导求出最大值点。
2. 建系坐标化求解空间位置与角：利用第一问最大值条件 $BD=1$ 得到各线段长： $BD=1,AD=2,CD=2$。由于 $DA,DB,DC$ 两两垂直，以 $D$ 为原点建立空间直角坐标系 $D-xyz$。写出各顶点及中点 $E,M$ 的精确坐标。设点 $N$ 位于 $CD$ 轴上，坐标记为 $(0,\lambda ,0)$。由向量垂直条件 $\overrightarrow{EN}\cdot \overrightarrow{BM}=0$ 线性解出 $\lambda$，锁定点 $N$ 的空间位置。计算平面 $BMN$ 的法向量 $\mathbf{n}$，利用线面角公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\mathbf{n},\overrightarrow{EN}⟩|$ 算出其正弦值，从而锁定角度。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $BD=1$ 时三棱锥体积最大

(2) $EN\perp BM$ 时 $DN=\frac{1}{2}$，$EN$ 与平面 $BMN$ 所成角为 $60^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 当 $BD$ 的长为多少时，三棱锥 $A-BCD$ 的体积最大？

在折叠前的平面图形图 1 中： 因为 $AD\perp BC$，垂足 $D$ 在线段 $BC$ 上，且 $\angle ACB=45^{\circ }$， 所以 $△ADC$ 为等腰直角三角形，进而可得线段等量关系： $AD=CD$

设线段 $BD$ 的长为 $x$。由于 $D$ 异于点 $B,C$且 $BC=3$，可知自变量的取值范围约束为 $x\in (0,3)$。 此时，其余的线段长可以分别用 $x$ 线性表示为： $CD=BC-BD=3-x⟹AD=3-x$

在折叠后的立体图形图 2 中：

• 因为沿 $AD$ 折起，故在局部结构中，折叠前后的垂直关系保持不变，即： $AD\perp BD$ 且 $AD\perp CD$。
• 又 because $BD\cap CD=D$，且 $BD,CD\subset \text{平面 }BCD$。 根据空间线面垂直的判定定理，可得： $AD\perp \text{平面 }BCD$ 这表明，线段 $AD$ 严格作为三棱锥 $A-BCD$ 以平面 $BCD$ 为底面时的高。

题目已知折叠后满足条件 $\angle BDC=90^{\circ }$，即 $△BCD$ 是以 $D$ 为直角顶点的直角三角形。 其底面面积 $S_{△BCD}$ 为： $S_{△BCD}=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot CD=\frac{1}{2}x(3-x)$

接下来，套用三棱锥体积计算通式 $V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{底}}\cdot h$ 构建关于变量 $x$ 的函数方程： $V_{A-BCD}=\frac{1}{3}\cdot AD\cdot S_{△BCD}=\frac{1}{3}(3-x)\cdot \left[\frac{1}{2}x(3-x)\right]=\frac{1}{6}x(3-x{)}^2$

体积最值求解（使用基本不等式法）： 为了能够套用积定式放缩，我们将变量 $x$ 乘以 2，同时在系数端除以 2 以维持等恒变形： $V_{A-BCD}=\frac{1}{12}\cdot (2x)\cdot (3-x)\cdot (3-x)$ 由于 $2x+(3-x)+(3-x)=6$（各项相加为常数），根据三元均值不等式 $abc\le {\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^3$ 可得： $V_{A-BCD}\le \frac{1}{12}\cdot {\left[\frac{2x+(3-x)+(3-x)}{3}\right]}^3=\frac{1}{12}\cdot {\left(\frac{6}{3}\right)}^3=\frac{1}{12}\cdot 2^3=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

根据基本不等式取等号的充要条件，当且仅当拆分的三项数值完全相等时等号成立： $2x=3-x⟹3x=3⟹x=1$ 因为 $x=1\in (0,3)$，符合定义域约束。 所以，当 $BD=1$ 时，三棱锥 $A-BCD$ 的体积取得最大值。

（2） 确定点 $N$ 的位置并求线面角的大小

第一步：空间直角坐标系的建立与核心点坐标归纳 由第（1）问可知，当三棱锥体积最大时，相关核心线段的精确长度分别为： $BD=1,CD=3-1=2,AD=3-1=2$

在三棱锥 $A-BCD$ 中，由于 $AD\perp \text{平面 }BCD$，故 $AD\perp DB$ 且 $AD\perp DC$。 又已知底面直角满足 $BD\perp CD$。 因此，线段 $DB,DC,DA$ 两两相互垂直。 我们以点 $D$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。

依据各线段的固有长度，写出四面体四个顶点的直角坐标： $D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2)$

题目已知点 $E,M$ 分别为棱 $BC,AC$ 的中点，套用中点坐标公式可得： $E=\left(\frac{1+0}{2},\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},1,0\right)$ $M=\left(\frac{0+0}{2},\frac{0+2}{2},\frac{2+0}{2}\right)=(0,1,1)$

第二步：利用向量垂直线性锁定点 $N$ 的精确坐标 由于点 $N$ 限制在棱 $CD$ 上滑动，而 $CD$ 严格位于 $y$ 轴上（其 $x$ 和 $z$ 分量均为 0）。 故可设点 $N$ 的动态坐标为： $N(0,\lambda ,0)\text{（其中 }0\le \lambda \le 2\text{）}$

写出两条关联线段对应的方向向量： $\overrightarrow{EN}=\left(0-\frac{1}{2},\lambda -1,0-0\right)=\left(-\frac{1}{2},\lambda -1,0\right)$ $\overrightarrow{BM}=(0-1,1-0,1-0)=(-1,1,1)$

题目要求满足 $EN\perp BM$，根据空间向量垂直的充要条件： $\overrightarrow{EN}\cdot \overrightarrow{BM}=0⟹\left(-\frac{1}{2}\right)\times (-1)+(\lambda -1)\times 1+0\times 1=0$ 展开并化简一元一次方程： $\frac{1}{2}+\lambda -1=0⟹\lambda =\frac{1}{2}$ 因为 $\lambda =\frac{1}{2}\in [0,2]$，完全符合有界物理约束。 此时，点 $N$ 的精确坐标为 $\left(0,\frac{1}{2},0\right)$。由于 $DN=\frac{1}{2}$ 且 $CD=2$，这表明当点 $N$ 位于棱 $CD$ 上靠近点 $D$ 的四等分点处时，满足 $EN\perp BM$。

第三步：计算平面 $BMN$ 的空间法向量 更新并写出此时关键向量的代数式： $\overrightarrow{EN}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)$ $\overrightarrow{BN}=\left(0-1,\frac{1}{2}-0,0-0\right)=\left(-1,\frac{1}{2},0\right)$

设平面 $BMN$ 的一个法向量为 $\mathbf{n}=(x,y,z)$。依据法向量垂直于平面内两条非平行线段向量的性质，构建齐次方程组： $\{\begin{array}{l}\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{BN}=0\\ \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{BM}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-x+\frac{1}{2}y=0\\ -x+y+z=0\end{array}$

1. 由第一个方程可得解的比例关联： $x=\frac{1}{2}y⟹y=2x$；
2. 将 $y=2x$ 代入第二个方程中以孤立变量 $z$： $-x+2x+z=0⟹z=-x$。

令自由变量 $x=1$，则对应解出 $y=2,z=-1$。 由此求得平面 $BMN$ 的一个标准法向量为： $\mathbf{n}=(1,2,-1)$

第四步：利用线面角向量积通式求角度 设直线 $EN$ 与平面 $BMN$ 所成角的大小为 $\theta$。根据空间中线面角的向量转换公式： $\sin \theta =|\cos ⟨\mathbf{n},\overrightarrow{EN}⟩|=\frac{|\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{EN}|}{|\mathbf{n}|\cdot |\overrightarrow{EN}|}$

分别计算该分式的各个分量元：

• 数量积绝对值： $|\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{EN}|=\left|1\times \left(-\frac{1}{2}\right)+2\times \left(-\frac{1}{2}\right)+(-1)\times 0\right|=\left|-\frac{1}{2}-1\right|=\frac{3}{2}$
• 法向量模长： $|\mathbf{n}=\sqrt{1^2+2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{6}$
• 线段向量模长： $|\overrightarrow{EN}|=\sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+0^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

将上述三个数值代回线面角计算方程中： $\sin \theta =\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{6}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

由于空间中直线与平面所成夹角的几何取值范围满足 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$， 因此解得： $\theta =60^{\circ }\left(\text{或写为 }\frac{\pi }{3}\right)$

线段 $EN$ 与平面 $BMN$ 所成角的大小为 $60^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：翻折模型中线面垂直高的退化判定、均值不等式最值技术、两两垂直特征下的空间直角坐标系构建、法向量求线面角的标准流程。
2. 核心方法：空间直角坐标建系消元法。本题的第二问若采用传统几何法，需要构造平行线并寻找投影，空间想象难度较大。通过利用 $DB,DC,DA$ 两两垂直的几何特征，直接建立空间直角坐标系进行纯代数向量运算，可将复杂的空间分析转化为规范的代数方程求解。
3. 避坑指南：

• 折叠前后线段长度转化笔误：在第一问中，务必根据折叠前平面图中的 $45^{\circ }$ 特殊角，准确判定 $AD$ 和 $CD$ 长度的挂钩关系。
• 线面角计算时公式错套：利用法向量求线面角时，最终的三角函数关系是 $\sin \theta$，而不是面面夹角或线线角中的 $\cos \theta$。避免因习惯性代入余弦值而导致最终角度计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》中关于立体几何折叠问题及空间向量综合应用的压轴解答题。
2. 结论推广：

• 直角沿高翻折立体几何最值通用模型：在平面几何中，若一个直角三角形沿其斜边上的高进行空间翻折，并使折后的两底边侧翼处于相互垂直的特殊临界状态，则该翻折体所能包络形成的三棱锥最大体积的几何特征，完全由底面两分段线段的固定加权比值所决定。
• 依据空间向量建系范式，无论第二问如何改变已知中点或垂直直线的位置，均能通过“标准直角建系 $\to$ 设未知参数点 $\to$ 点积为零解参数 $\to$ 法向量求夹角”的标准流水线解题步骤，实现规范化求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积 类题演练 (Links)

• 2007-重庆卷理-19 解-二面角平面角其正切值

• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角

• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积