2012-湖南卷文-15 填-向量数量积投影

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量分解与垂直条件。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$AP\perp BD$，垂足为 $P$，且 $AP=3$，则 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AC}=$ $\underline{}$.

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🔍【思路分析】

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$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AD}=A{P}^2=9$，故 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AC}=18$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

由平行四边形法则，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，故

$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AD}$.

因为 $P$ 在 $BD$ 上，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}$，且 $AP\perp BD$ 即 $\overrightarrow{AP}\perp \overrightarrow{PB}$，所以

$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=A{P}^2+\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{PB}=9+0=9$；

同理 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AD}=9+0=9$。

所以 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AC}=9+9=18$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量加法的三角形法则；垂直向量的数量积为零

核心方法：沿 $\overrightarrow{AP}$ 拆分两个邻边向量，利用 $AP\perp BD$ 让交叉项归零

避坑指南：$P$、$B$、$D$ 都在 $BD$ 上，故 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{PB}$、$\overrightarrow{PD}$ 都垂直，两个交叉项同时为零；结果与 $P$ 在 $BD$ 上的具体位置无关，不要试图去求 $P$ 的位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平行四边形中的数量积题，与 2013 年天津卷文第 12 题、2013 年安徽卷理第 9 题同族。

结论推广：对角线向量 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$；从顶点向对角线引垂线时，$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}$ 等于垂线段长的平方。

方法推广：数量积计算优先选一条”垂直基准向量”做分解，把未知夹角的项全部消掉。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-12 填-向量数量积求边长
• 2013-新课标II卷理-13 填-平面向量数量积的性质及运算
• 2013-安徽卷理-09 单-数量积运算性质