2012-安徽卷文-11 填-向量垂直求模

本题导读

本题考查向量的坐标加法，以及向量垂直的坐标条件。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） 设向量 $a=(1,2m)$，$b=(m+1,1)$，$c=(2,m)$.若 $(a+c)\perp b$，则 $|a|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$3(m+1)+3m=0\Rightarrow m=-\frac{1}{2}$，$|a|=\sqrt{1+4\times \frac{1}{4}}=\sqrt{2}$。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$a+c=(1+2,2m+m)=(3,3m)$。

由 $(a+c)\perp b$ 得 $(a+c)\cdot b=3(m+1)+3m\times 1=6m+3=0$，故 $m=-\frac{1}{2}$。

$|a|=\sqrt{1^2+(2m{)}^2}=\sqrt{1+4\times \frac{1}{4}}=\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：坐标加法；垂直的代数条件 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$；模长公式

核心方法：先算 $a+c$，再用垂直条件列方程解 $m$，最后代模长公式

避坑指南：$b$ 的横坐标是 $m+1$（含参数），点乘时别漏加 $1$；$|a|=\sqrt{1+4m^2}$，是先平方再开方，$m=-\frac{1}{2}$ 代入后 $4m^2=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量垂直求参求模题，与 2012 年江西卷文第 12 题、2012 年新课标Ⅰ文第 15 题同族。

结论推广：$a\perp b⟺a\cdot b=0$；$|a|=\sqrt{x^2+y^2}$。垂直条件是关于参数的一次（或二次）方程。

方法推广：向量坐标题按”先运算（加法/数乘）→ 再条件（垂直/平行）→ 后目标（模/数量积）“的顺序推进。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-江西卷文-12 填-单位向量垂直求值
• 2012-新课标卷文-15 填-向量数量积求模
• 2012-湖南卷文-15 填-向量数量积投影