2012-湖南卷文-18 解-三角函数图象与单调区间

本题导读

本题考查由图象求的解析式。核心在于函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 已知函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$（$x\in \mathbf{R}$，$\omega >0$，$0<\phi <\frac{\pi }{2}$）的部分图象如图所示.

(1)求函数 $f(x)$ 的解析式；

(2)求函数 $g(x)=f\left(x-\frac{\pi }{12}\right)-f\left(x+\frac{\pi }{12}\right)$ 的单调递增区间.

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🔍【思路分析】

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两相邻零点相距 $\frac{\pi }{2}$ 得 $\omega =2$，最低点定 $\phi =\frac{\pi }{6}$，$f(0)=1$ 定 $A=2$；$g(x)=-2\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$，增区间为 $\left[k\pi -\frac{\pi }{12},k\pi +\frac{5\pi }{12}\right]$。

✅【答案】

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(1)$f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$；(2)单调递增区间为 $\left[k\pi -\frac{\pi }{12},k\pi +\frac{5\pi }{12}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）由图象，$f(x)$ 的图象与 $x$ 轴的相邻两个交点为 $\left(\frac{5\pi }{12},0\right)$ 与 $\left(\frac{11\pi }{12},0\right)$，其间恰含半个周期，故 $\frac{T}{2}=\frac{11\pi }{12}-\frac{5\pi }{12}=\frac{\pi }{2}$，$T=\pi$，$\omega =\frac{2\pi }{T}=2$。

由图象，$x=\frac{2\pi }{3}=\frac{5\pi }{12}+\frac{\pi }{4}$（两零点的中点）处函数取得最小值，故 $2\times \frac{2\pi }{3}+\phi =\frac{3\pi }{2}+2k\pi$，取 $k=0$ 得 $\phi =\frac{3\pi }{2}-\frac{4\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$，满足 $0<\phi <\frac{\pi }{2}$。

又 $f(0)=1$，即 $A\sin \frac{\pi }{6}=\frac{A}{2}=1$，故 $A=2$。

所以 $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。

（2）$g(x)=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)-2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)=2\sin 2x-2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$.

由 $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$，得

$g(x)=2\times 2\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\times \sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-2\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$.

$g(x)$ 单调递增等价于 $\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 单调递减，即 $2k\pi ⩽2x+\frac{\pi }{6}⩽2k\pi +\pi$，解得 $k\pi -\frac{\pi }{12}⩽x⩽k\pi +\frac{5\pi }{12}$。

所以 $g(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k\pi -\frac{\pi }{12},k\pi +\frac{5\pi }{12}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：图象的零点间距定 $\omega$、最值点定 $\phi$、特殊函数值定 $A$；和差化积与复合函数单调性

核心方法：按”$\omega$ — $\phi$ — $A$“的顺序逐个确定参数；$g(x)$ 先化简为一个三角函数再求单调区间

避坑指南：两零点之间是半个周期而不是一个周期；化简 $g(x)$ 时 $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ 的负号容易丢，丢号会得到增区间错位半个周期的错误答案；最后别忘了写 $k\in \mathbf{Z}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数图象与解析式综合题，与 2013 年四川卷文第 6 题、2014 年广东卷理第 16 题同族。

结论推广：$f(x-{\phi }_0)-f(x+{\phi }_0)$ 型（$f$ 为正弦型函数）恒可化为单一余弦型函数；本题 $g(x)=-2\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。

方法推广：求单调区间必须先把表达式化成 $A\sin (\omega x+\phi )$ 或 $A\cos (\omega x+\phi )$ 的标准形式，再套单调区间模板。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-06 单-三角函数图象定参
• 2014-广东卷理-16 解-正弦型函数解析式确定
• 2012-天津卷文-07 单-三角函数图象平移