2012-湖南卷理-06 单-解三角形

本题导读

本题考查两角和的余弦公式，以及三角函数的辅助角公式。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 函数 $f(x)=\sin x-\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的值域为()

A. $[-2,2]$　　　B. $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$　　　C. $[-1,1]$　　　D. $\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

🔍【思路分析】

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1. 因为解析式中含有不同名的三角函数项且角度不统一，所以先利用两角和的余弦公式 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 将 $\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 展开。
2. 因为展开后含有 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的线性组合形式，所以代入特殊角三角函数值并合并同类项，化简为 $a\sin x+b\cos x$ 的形式。
3. 因为需要求解值域，所以运用辅助角公式将式子变形为 $A\sin (x+\varphi )$ 的标准正弦波形，利用正弦函数的有界性直接输出取值范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为根据两角和的余弦公式，满足： $\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\cos x\cos \frac{\pi }{6}-\sin x\sin \frac{\pi }{6}$

因为 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$， $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$， 所以上式可化简为： $\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$

将该展开式代入原函数 $f(x)$ 中： $f(x)=\sin x-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x\right)$ $f(x)=\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x$

合并关于 $\sin x$ 的同类项： $f(x)=\frac{3}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$

因为依据辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )$， 其振幅 $A=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{12}{4}}=\sqrt{3}$， 所以提取公因式 $\sqrt{3}$ 进行配凑变换： $f(x)=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x\right)$ $f(x)=\sqrt{3}\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$

因为对任意的实数 $x\in \mathbb{R}$，正弦型函数片段的取值范围恒满足： $-1\le \sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1$

所以两边同时乘以系数 $\sqrt{3}$ 变形可得： $-\sqrt{3}\le \sqrt{3}\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\le \sqrt{3}$ 即函数 $f(x)$ 的值域为 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和差公式的逆向或顺向展开、辅助角公式中振幅 $A=\sqrt{a^2+b^2}$ 的精确计算、正弦型基本函数的值域特征。
2. 核心方法：一角一函数化归法。处理多种三角函数混杂的求值域、周期、单调性问题时，统一通过恒等变换将其压缩到 $A\sin (\omega x+\varphi )+k$ 的标准正弦波形中，再行讨论。
3. 避坑指南：

• 因为在展开 $\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 时，括号前面带有负号，所以去括号时极易因粗心发生变号笔误。必须注意 $-\left(-\frac{1}{2}\sin x\right)=+\frac{1}{2}\sin x$。
• 因为提取辅助角系数时公式记忆不熟练，部分考生容易在计算 $\sqrt{a^2+b^2}$ 时算错。牢记振幅即为两系数平方和的算术平方根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第一册第五章《三角恒等变换》中关于辅助角公式应用的课后常规基础复习选择题。
2. 结论推广：

• 对偶相加三角振幅守恒模型：在实数空间中，形如 $f(x)=\sin x-\cos (x+\alpha )$ 的三角函数。因为其结构对称，所以其最终化简后的单幅振幅 $A$ 恒表现为关于平移角 $\alpha$ 的一元显式函数关系： $A\equiv 2\sin \left(\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}\right)\left(\text{当 }\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})\text{ 时}\right)$
• 因为本题中 $\alpha =\frac{\pi }{6}$，代入该推广模型可得 $A=2\sin \left(\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{4}\right)=2\sin \frac{\pi }{3}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。因为最大值为 $\sqrt{3}$，最小值为 $-\sqrt{3}$，所以值域直接锁定为 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$。掌握此模型可快速实现特定三角函数最值的快速心算校验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式 类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷理-17 解-两角和

• 1990-全国卷理-06 单-三角式的值域

• 1993-新高考理-01