2011-湖南卷理-17 解-两角和

本题导读

本题考查正弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且满足 $c\sin A=a\cos C$.

(1) 求角 $C$ 的大小；

(2) 求 $\sqrt{3}\sin A-\cos \left(B+\frac{\pi }{4}\right)$ 的最大值，并求取得最大值时角 $A,B$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用正弦定理将 $c\sin A=a\cos C$ 转化为纯角的关系式 $\sin C\sin A=\sin A\cos C$。由 $\sin A\ne 0$ 约去，得到 $\tan C=1$，结合三角形内角范围确定角 $C$。
2. 第 (2) 问：根据 $A+B+C=\pi$ 且 $C=\frac{\pi }{4}$，消元得 $B=\frac{3\pi }{4}-A$。将目标代数式化为关于单角 $A$ 的三角函数，利用辅助角公式合并为 $A\sin (A+\phi )$ 的形式，结合 $A\in \left(0,\frac{3\pi }{4}\right)$ 求解最大值及对应的角 $A,B$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 由正弦定理得： $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}=2R$（$R$ 为 $△ABC$ 外接圆半径）， 所以 $a=2R\sin A$，$c=2R\sin C$。 代入已知条件 $c\sin A=a\cos C$，得： $2R\sin C\sin A=2R\sin A\cos C$。 因为在 $△ABC$ 中，$\sin A\ne 0$，$R\ne 0$， 所以： $\sin C=\cos C$，即 $\tan C=1$。 又因为 $C\in (0,\pi )$，所以： $C=\frac{\pi }{4}$。

(2) 由 $A+B+C=\pi$ 及 $C=\frac{\pi }{4}$，得： $B=\frac{3\pi }{4}-A$。 因为 $A,B\in (0,\pi )$，所以 $0<A<\frac{3\pi }{4}$。

代入所求代数式，得： $y=\sqrt{3}\sin A-\cos \left(B+\frac{\pi }{4}\right)$ $=\sqrt{3}\sin A-\cos \left(\frac{3\pi }{4}-A+\frac{\pi }{4}\right)$ $=\sqrt{3}\sin A-\cos (\pi -A)$ $=\sqrt{3}\sin A-(-\cos A)$ $=\sqrt{3}\sin A+\cos A$。

利用辅助角公式化简： $y=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A+\frac{1}{2}\cos A\right)=2\sin \left(A+\frac{\pi }{6}\right)$。

因为 $0<A<\frac{3\pi }{4}$，所以： $\frac{\pi }{6}<A+\frac{\pi }{6}<\frac{11\pi }{12}$。

当 $A+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，即 $A=\frac{\pi }{3}$ 时，$\sin \left(A+\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值 1。 此时，$B=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{12}$。 目标代数式的最大值为： $y_{\max }=2\times 1=2$。

答：$\sqrt{3}\sin A-\cos \left(B+\frac{\pi }{4}\right)$ 的最大值为 2，取得最大值时角 $A=\frac{\pi }{3}$，角 $B=\frac{5\pi }{12}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦定理边角互化、消元思想与辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$。
• 核心方法：双角结构（$A$ 和 $B$）利用内角和关系统一转化为关于单角 $A$ 的函数求解。
• 避坑指南：必须注意消元后单角 $A$ 的定义域范围受到其余内角大于 0 的限制，即 $A\in \left(0,\frac{3\pi }{4}\right)$，需验证正弦极值点 $\frac{\pi }{2}$ 是否落在该区间内。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考解三角形主干基础解答题，立足于诱导公式与一元三角函数化简的综合考查。
• 结论推广：形如 $\alpha \sin A+\beta \sin B$ 在 $A+B=\pi -C$（$C$ 为定值）的约束下，均可通过展开化为单变量正弦型函数 $M\sin (A+\psi )$ 求极值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-18 解-降幂公式与倍角公式
• 2024-新高考II卷-15 解-解三角形
• 2009-四川卷文-17 解-解三角形