2012-湖南卷理-10 填-充要条件

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法，以及零点分段讨论法。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 不等式 $|2x+1|-2|x-1|>0$ 的解集为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 因为不等式中含有两个绝对值符号，所以采用零点分段法。令 $2x+1=0⟹x=-\frac{1}{2}$；令 $x-1=0⟹x=1$。
2. 因为这两个零点将实数轴切分为三个区间： $x<-\frac{1}{2}$、 $-\frac{1}{2}\le x<1$、 $x\ge 1$，所以分三种情况分别去掉绝对值符号。
3. 因为是在特定区间内解不等式，所以求出的代数解必须与当前区间的定义域范围取交集，最后将三段支线的有效解集取并集。

✅【答案】

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$\left\{x\mid x>\frac{1}{4}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

因为绝对值内部的多项式零点分别为 $x=-\frac{1}{2}$ 和 $x=1$， 所以我们按此零点将实数集分为三个区间进行分类讨论：

• 情况一：当 $x<-\frac{1}{2}$ 时 因为此时 $2x+1<0$ 且 $x-1<0$， 所以去掉绝对值符号需变号： $|2x+1|=-(2x+1)$， $|x-1|=-(x-1)$。 代入原不等式得： $-(2x+1)-2\cdot [-(x-1)]>0⟹-2x-1+2(x-1)>0$ $-2x-1+2x-2>0⟹-3>0$ 因为 $-3>0$ 恒为不可能的不等式，所以在该区间内无解，即解集为 $\varnothing$。

• 情况二：当 $-\frac{1}{2}\le x<1$ 时 Because 此时 $2x+1\ge 0$ 且 $x-1<0$， 所以去掉绝对值符号得： $|2x+1|=2x+1$， $|x-1|=-(x-1)$。 代入原不等式得： $(2x+1)-2\cdot [-(x-1)]>0⟹2x+1+2(x-1)>0$ $2x+1+2x-2>0⟹4x-1>0⟹x>\frac{1}{4}$ 将解 $x>\frac{1}{4}$ 与当前区间的硬性约束 $-\frac{1}{2}\le x<1$ 取交集，得： $\frac{1}{4}<x<1$

• 情况三：当 $x\ge 1$ 时 因为此时 $2x+1>0$ 且 $x-1\ge 0$， 外层绝对值可直接去掉： $|2x+1|=2x+1$， $|x-1|=x-1$。 代入原不等式得： $(2x+1)-2(x-1)>0⟹2x+1-2x+2>0⟹3>0$ 因为 $3>0$ 恒成立，所以当前区间内的所有实数均为合规解。 将此解与当前区间约束 $x\ge 1$ 取交集，得： $x\ge 1$

综合上述三种情况，将各个分段内的有效解集取并集合并： $\text{总解集}=\varnothing \cup \left\{x\mid \frac{1}{4}<x<1\right\}\cup \{x\mid x\ge 1\}=\left\{x\mid x>\frac{1}{4}\right\}$

故答案为：$\left\{x\mid x>\frac{1}{4}\right\}$（或写为区间形式 $\left(\frac{1}{4},+\infty \right)$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：零点分段讨论法的区间划分、绝对值不等式去掉符号时的正负号判定、分段解与区间定义域的交并集运算。
2. 核心方法：零点分段化归法。处理含有两个或多个绝对值的不等式，无条件采用零点切分法将数轴分段，将其退化化归为普通的线性不等式组求解。
3. 避坑指南：

• 因为在分段求解后，极易忘记将算出来的解与当前区间的硬性范围取交集，所以经常会在“情况三”中误以为解集是全集 $\mathbb{R}$。必须牢记“段内取交，段间取并”的八字纲领。
• 因为去绝对值符号时前面常带有负号（如情况一的 $-2\cdot [-(x-1)]=+2(x-1)$），符号嵌套较多，需特别注意去括号时的符号负负得正变号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材选修4-5《不等式选讲》中关于绝对值不等式解法的常规经典压轴填空题。
2. 结论推广：

• 绝对值不等式移项平方快速模型：若观察本题的代数结构，可以将负项移到等式右端： $|2x+1|>2|x-1|$。因为不等式两端均恒为非负数，所以满足两边同时作平方保持不等号方向不变的性质： $(2x+1{)}^2>[2(x-1){]}^2⟹(2x+1{)}^2>4(x-1{)}^2$
• 展开并化简两端的完全平方多项式： $4x^2+4x+1>4(x^2-2x+1)⟹4x^2+4x+1>4x^2-8x+4$
• 两端消去二次项 $4x^2$： $4x+1>-8x+4⟹12x>3⟹x>\frac{1}{4}$
• 结果只需 3 行算式。掌握这一“非负项平方去绝对值模型”，在面对项数系数合适的绝对值不等式时，可以彻底跳过复杂的零点分段讨论，实现高效快速得出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式 类题演练 (Links)

• 2007-广东卷理-14 填-绝对值不等式解法

• 2009-山东卷理-13 填-绝对值不等式

• 2009-福建卷理-21C 解-绝对值不等式