2009-福建卷理-21C 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 解不等式 $|2x-1|<|x|+1$.

🔍【思路分析】

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1. 找到两个绝对值内部代数式的零点 $x=0$ 和 $x=\frac{1}{2}$。

2. 将实数集划分为 $(-\infty ,0)$， $[0,\frac{1}{2}]$， $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ 三个区间分别去掉绝对值求解，最后取并集。

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原不等式的解集为 $(0,2)$

✍【详细解析】

Abstract

令 $2x-1=0⟹x=\frac{1}{2}$；令 $x=0$。 分区间讨论如下： ① 当 $x<0$ 时，原不等式化为 $1-2x<-x+1⟹-x<0⟹x>0$，此时无解； ② 当 $0\le x\le \frac{1}{2}$ 时，原不等式化为 $1-2x<x+1⟹-3x<0⟹x>0$，结合区间得 $0<x\le \frac{1}{2}$； ③ 当 $x>\frac{1}{2}$ 时，原不等式化为 $2x-1<x+1⟹x<2$，结合区间得 $\frac{1}{2}<x<2$。 综上所述，原不等式的解集为 $(0,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式的同解变形与区间拆分。

2. 核心方法：零点分段讨论法。

3. 避坑指南：分段求解后，每一段的解必须与该段的前提区间取交集，最后把各段的结果取并集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于选修4-5《不等式选讲》绝对值不等式章节的基础题，重点考查逻辑分类讨论的严密性。

2. 结论推广：对于 $|ax-b|<|cx-d|+e$ 型不等式，零点分段法是处理绝对值符号的普适通法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式