2009-山东卷理-13 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查含两个绝对值的不等式求解。对于这类两边仅含绝对值的不等式，两边平方去绝对值是最高效的方法。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 不等式 $|2x-1|-|x-2|<0$ 的解集为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 等式移项：将不等式变形为 $|2x-1|<|x-2|$。

2. 两边平方：由于不等式两端均非负，可以直接通过两边平方去掉绝对值符号。

3. 化简求解：展开移项，转化为关于 $x$ 的一元二次不等式进行求解，写出最终解集。

✅【答案】

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$x\mid -1<x<1$

✍【详细解析】

Abstract

原不等式可变形为： $|2x-1|<|x-2|$ 因为不等式两边均非负，两边平方得： $(2x-1{)}^2<(x-2{)}^2$ 展开并化简： $4x^2-4x+1<x^2-4x+4$ 移项合并同类项得： $3x^2<3⟹x^2<1$ 解得： $-1<x<1$ 所以，不等式的解集为： $\{x\mid -1<x<1\}(\text{或用区间表示为 }(-1,1))$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式的去绝对值方法。

2. 核心方法：两边平方法。形如 $|f(x)|<|g(x)|$ 的不等式，平方法是首选，避免了复杂的零点分段讨论。

3. 避坑指南：有些同学容易直接去掉绝对值得到 $2x-1<x-2$，这忽略了绝对值的非负性质，导致漏解。切记必须两边平方或者使用零点分段。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于绝对值不等式基本解法的经典考查，属于人教A版选修4-5《不等式选讲》的核心概念基础。

2. 结论推广： 一般地，对于 $|ax-b|<|cx-d|$ 型不等式，可化为 $(ax-b{)}^2<(cx-d{)}^2$，通过平方差公式化简为 $[(a+c)x-(b+d)][(a-c)x-(b-d)]<0$，从而快速确定根的区间。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式