2012-湖南卷理-17 解-分布列

本题导读

本题考查统计图表与频数、总数、频率的关系。核心在于方程组求解法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示：

| 一次购物量 | 1 至 4 件 | 5 至 8 件 | 9 至 12 件 | 13 至 16 件 | 17 件及以上 | | 顾客数（人） | $x$ | $30$ | $25$ | $y$ | $10$ | | 结算时间（分钟/人） | $1$ | $1.5$ | $2$ | $2.5$ | $3$ |

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.

(1)确定 $x,y$ 的值，并求顾客一次购物的结算时间 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率.（注：将频率视为概率）

🔍【思路分析】

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1. 方程组锁定频数：因为总人数为 100 且“超过 8 件（即 9-12件、13-16件、17件及以上）”的顾客占 $55\%$，所以建立方程组 $25+y+10=100\times 55\%=55$。再利用总人数互补关系得到 $x+30=100-55=45$，分别解出 $x,y$。
2. 频率向分布列转化：因为将频率视为概率，所以用各组频数除以总人数 100，得到结算时间 $X$ 对应取值 $1,1.5,2,2.5,3$ 的概率，列出标准分布列，套用 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算期望。
3. 独立组合分解事件：设前两位顾客的结算时间分别为 $X_1,X_2$。因为等候时间不超过 2.5 分钟，所以总时间满足 $X_1+X_2\le 2.5$。根据 $X$ 的可能取值，穷举出所有合规的互斥组合形式：$(1,1)$, $(1,1.5)$, $(1.5,1)$。由于独立性，将各组概率相乘再求和即可。

✅【答案】

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(1) $x=15$，$y=20$；$P(X=1)=\frac{3}{20}$，$P(X=1.5)=\frac{3}{10}$，$P(X=2)=\frac{1}{4}$，$P(X=2.5)=\frac{1}{5}$，$P(X=3)=\frac{1}{10}$；$E(X)=1.9$

(2) $\frac{9}{80}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）确定 $x,y$ 的值及结算时间 $X$ 的分布列与期望

因为这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 $55\%$， 所以超过 8 件的顾客总人数为 $100\times 55\%=55$ 人。 结合图表数据满足： $25+y+10=55⟹y+35=55⟹y=20$

因为收集的顾客样本总数为 100 人， 所以前两组的顾客数满足： $x+30=100-55=45⟹x=15$

因为将频率视为概率，所以随机变量 $X$ 的可能取值为 $1,1.5,2,2.5,3$。 其对应的概率分别计算如下： $P(X=1)=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}$ $P(X=1.5)=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$ $P(X=2)=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$ $P(X=2.5)=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$ $P(X=3)=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$

故顾客一次购物的结算时间 $X$ 的分布列为：

$X$	$1$	$1.5$	$2$	$2.5$	$3$
$P$	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

因为根据数学期望的定义公式， 所以 $X$ 的数学期望满足： $E(X)=1\times \frac{3}{20}+1.5\times \frac{3}{10}+2\times \frac{1}{4}+2.5\times \frac{1}{5}+3\times \frac{1}{10}$ $E(X)=\frac{3}{20}+\frac{9}{20}+\frac{10}{20}+\frac{10}{20}+\frac{6}{20}=\frac{38}{20}=1.9$

（2）求解等候时间不超过 2.5 分钟的概率

设该顾客前面第 1 位和第 2 位顾客的结算时间分别为 $X_1,X_2$。 因为这两位顾客的结算时间独立同分布，其分布列与 $X$ 完全相同， 且该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟， 所以满足： $X_1+X_2\le 2.5$

根据随机变量的可能取值，使得 $X_1+X_2\le 2.5$ 成立的互斥事件组合仅有如下三种情况：

• 情况一： $X_1=1$ 且 $X_2=1$
• 情况二： $X_1=1$ 且 $X_2=1.5$
• 情况三： $X_1=1.5$ 且 $X_2=1$

因为各顾客的结算相互独立，根据独立事件的概率乘法公式与互斥事件的加法公式， 所以所求概率满足： $P(X_1+X_2\le 2.5)=P(X_1=1)P(X_2=1)+P(X_1=1)P(X_2=1.5)+P(X_1=1.5)P(X_2=1)$

将第一问分布列中的概率数据代入上式中： $P=\frac{3}{20}\times \frac{3}{20}+\frac{3}{20}\times \frac{3}{10}+\frac{3}{10}\times \frac{3}{20}$ $P=\frac{9}{400}+\frac{18}{400}+\frac{18}{400}=\frac{45}{400}=\frac{9}{80}$

所以，该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 $\frac{9}{80}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频数分布表向离散型分布列的转化、均值公式的代数化简、多元独立变量加和不等式的事件穷举。
2. 核心方法：互斥事件穷举法。处理类似“两个独立变量之和不超过某常数”的概率问题时，最核心的解题大招在于结合变量的离散取值，在二维空间中穷举出所有能让不等式成立的整数组合，再利用独立性进行分支相乘、总体相加。
3. 避坑指南：

• 因为在第一问解方程时，题目给出的条件是“超过 8 件”，对应的区间是后三组。部分考生容易粗心看错，漏掉最后一组“17件及以上”的人数 10，导致 $y$ 的值计算错误。
• 因为在第二问穷举组合时缺乏严谨性，容易漏掉 $(1.5,1)$ 或 $(1,1.5)$ 中的某一种。牢记先后两位顾客是有位置顺序的， $(1,1.5)$ 与 $(1.5,1)$ 属于不同的基本事件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析》与第二章《随机变量及其分布》中关于离散型分布列、独立事件概率乘法公式应用的经典高考真题。
2. 结论推广：

• 离散独立变量多步卷积概率模型：在排队论或服务流系统评估中，若有 $n$ 个独立同分布的离散随机变量 $X_1,X_2,\dots ,x_n$。因为其概率分布列已知，所以其累加和 $S_n=\sum X_i$ 的概率分布在高等数学中被称为**“概率卷积（Probability Convolution）”**。
• 本题的第二问本质上就是求 2 阶全概率卷积在指定阈值内的截断分布概率。掌握“确定定义域 $\to$ 穷举互斥链 $\to$ 独立点乘求和”的流水线解题逻辑，未来无论排队人数变为几人、或时间阈值如何改变，均能精准破题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征 类题演练 (Links)

• 2004-重庆理-18 解-离散型随机变量的分布列

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列

• 2014-四川卷理-17 解-随机变量的分布列