2012-福建卷理-05 单-抛物线

本题导读

本题考查基本不等式，以及均值不等式的成立条件。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)） 下列不等式一定成立的是()

A. $\log \left(x^2+\frac{1}{4}\right)>\lg x(x>0)$ （注：原题左端应为 $\lg$）

B. $\sin x+\frac{1}{\sin x}\ge 2(x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z})$

C. $x^2+1\ge 2|x|(x\in \mathbb{R})$

D. $\frac{1}{x^2+1}>1(x\in \mathbb{R})$

🔍【思路分析】

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1. A选项逻辑：两端均为以 10 为底的常用对数（原题图 A 选项中前项写为 $\log$ 属于印刷不规范，解析按标准 $\lg$ 讨论）。利用对数函数的单调性，比较真数 $x^2+\frac{1}{4}$ 与 $x$ 的大小。
2. B选项逻辑：形式满足 $t+\frac{1}{t}$ 的双勾函数模型。需注意均值不等式 $\sin x+\frac{1}{\sin x}\ge 2$ 隐含有自变量必须为正数（即 $\sin x>0$）的前提限制。
3. C选项逻辑：利用实数平方的非负性性质。由于 $x^2=|x{|}^2$，将原式转化为 $|x{|}^2-2|x|+1\ge 0$，利用完全平方公式进行恒等判定。
4. D选项逻辑：分析分母 $x^2+1$ 的取值范围，利用分式的放缩性判定其与 1 的大小关系。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

A选项判定：不一定成立（假命题） 因为常用对数函数 $y=\lg t$ 在定义域 $(0,+\infty )$ 上是单调递增函数，所以要使 $\lg \left(x^2+\frac{1}{4}\right)>\lg x$ 恒成立，等价于真数不等式 $x^2+\frac{1}{4}>x$ 恒成立。 移项变形为： $x^2-x+\frac{1}{4}>0⟹{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2>0$。 当且仅当 $x=\frac{1}{2}$ 时， ${\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)}^2=0$，此时左边 $=$ 右边，大干号不成立。 因为存在反例 $x=\frac{1}{2}$ 使得不等式不成立，故A错。

B选项判定：不一定成立（假命题） 应用均值不等式 $t+\frac{1}{t}\ge 2$ 的绝对核心前提是变量 $t>0$。 然而在条件 $x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 下，正弦函数 $\sin x$ 的取值范围是 $[-1,0)\cup (0,1]$，其值可以为负数。

• 尝试寻找反例：当 $x=-\frac{\pi }{2}$ 时， $\sin x=-1$。 代入左边计算： $-1+\frac{1}{-1}=-2$。 由于 $-2\ge 2$ 显然不成立，故B错。

C选项判定：一定成立（真命题） 对于任意实数 $x\in \mathbb{R}$，根据绝对值的性质，显然有 $x^2=|x{|}^2$。 我们将原不等式进行等价代数移项变形： $x^2+1-2|x|\ge 0⟹|x{|}^2-2|x|+1\ge 0$ 利用完全平方公式对左端进行因式分解： $(|x|-1{)}^2\ge 0$ 根据实数域的非负数基本性质，任何实数的平方都必然大于或等于 0。 因此，不等式 $(|x|-1{)}^2\ge 0$ 对任意 $x\in \mathbb{R}$ 都是绝对恒成立的（当且仅当 $|x|=1⟹x=\pm 1$ 时等号成立）。 所以C选项一定成立。

D选项判定：一定不成立（假命题） 因为对于任意实数 $x\in \mathbb{R}$，都有 $x^2\ge 0$。 两边同时加上 1 可得分母的范围： $x^2+1\ge 1$ 根据分式的有界放缩原理，当分母大于或等于 1 时，其倒数必然小于或等于 1： $\frac{1}{x^2+1}\le 1$ 因此， $\frac{1}{x^2+1}>1$ 是绝对不可能成立的（其最大值只能在 $x=0$ 时取到 1），故D错。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：均值不等式“一正二定三相等”三大红线的审查、完全平方公式的恒等变形。
2. 核心方法：特例反例快速枪毙法。在高考选择题中，要求选出“一定成立”的选项时，针对带有对数、分式、三角函数的错误选项，直接带入特殊边界值（如B选项中使对数/三角函数为负值的特殊角度 $x=-\frac{\pi }{2}$），能够实现对错误命题的快速得出，极大地节省作答时间。
3. 避坑指南：

• 盲目硬套均值不等式公式：B选项是解析几何与代数中最经典的干扰陷阱。很多学生一看到 $t+\frac{1}{t}$ 的互为倒数结构，大脑就条件反射判定其大于等于 2。切记只要自变量的符号可以为负，大于等于 2 的结论就一定不稳固。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第一册第三章《一元二次函数、方程和不等式》中基本不等式 $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$ 的综合判定习题。属于高考考查不等式性质基本功的送分题。
2. 结论推广:

• 双勾函数有界性完备充要模型：对于任意代数分式结构 $f(x)=g(x)+\frac{1}{g(x)}$ （其中 $g(x)\ne 0$）。
• 其严格无损的有界性值域表达，根据 $g(x)$ 的正负，必须拆分为双侧对称区间。
• 其完备的恒成立不等式网格恒表现为： $\left|g(x)+\frac{1}{g(x)}\right|\ge 2⟺g(x)+\frac{1}{g(x)}\ge 2\text{ (当 }g(x)>0\text{)}\text{ 或 }g(x)+\frac{1}{g(x)}\le -2\text{ (当 }g(x)<0\text{)}$
• 牢记这一对偶值域分布模型，在面对任何函数单调性放缩、解析几何最值双向卡位时，均可做到逻辑无瑕疵。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式 类题演练 (Links)

• 2000-广东卷理-07 单-对数函数的单调性

• 2013-山东卷理-12 单-基本不等式求最值

• 2014-上海卷理-05 填-利用基本不等式求最值