2012-福建卷理-14 填-数列求和

本题导读

本题考查数列的前项和，以及余弦函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)） 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n=n\cos \frac{n\pi }{2}+1$，前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_{2012}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 拆分通项结构：通项公式由两部分组成： $a_n=n\cos \frac{n\pi }{2}$ 和常数项 $+1$。根据求和的线性性质，前 $n$ 项和 $S_{2012}$ 可以拆分为这两部分的独立求和之和。
2. 分析常数项累加：常数项 $1$ 连续累加 2012 次，结果直接等于 2012。
3. 分析三角变号项的周期性：分析关键因子 $\cos \frac{n\pi }{2}$ 随着 $n=1,2,3,4,\cdots$ 的取值变化规律：

• 当 $n$ 为奇数时， $\cos \frac{n\pi }{2}=0$，导致所有奇数项的这一部分全部归零消失。
• 当 $n=2,6,10,\cdots$（即 $n=4k-2$ ）时， $\cos \frac{n\pi }{2}=-1$，对应项变为 $-n$。
• 当 $n=4,8,12,\cdots$（即 $n=4k$ ）时， $\cos \frac{n\pi }{2}=1$，对应项变为 $+n$。

4. 并项配对求解：去掉零项后，剩余的非零偶数项两两结合，形如 $(-2+4)+(-6+8)+\cdots$，每组的和都是固定的常数，计算出总组数即可快速得出。

✅【答案】

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3018

✍【详细解析】

Abstract

根据数列前 $n$ 项和的定义，我们可以将 $S_{2012}$ 展开并进行结构拆分： $S_{2012}={\sum }_{n=1}^{2012}{a}_n={\sum }_{n=1}^{2012}\left(n\cos \frac{n\pi }{2}+1\right)$ 根据加法交换律和结合律，将常数项 $1$ 提取出来集中求和： $S_{2012}=\left(1\cdot \cos \frac{\pi }{2}+2\cdot \cos \frac{2\pi }{2}+3\cdot \cos \frac{3\pi }{2}+4\cdot \cos \frac{4\pi }{2}+\cdots +2012\cdot \cos \frac{2012\pi }{2}\right)+{\sum }_{n=1}^{2012}1$

首先计算后半部分的常数累加和： ${\sum }_{n=1}^{2012}1=1\times 2012=2012\text{(1)}$

现在集中分析前半部分由余弦函数控制的交错序列（设为 $T$）： 根据余弦函数的特殊角取值， $\cos \frac{n\pi }{2}$ 的数值随着 $n$ 的递增，以 4 为周期不断按以下顺序循环： $0,-1,0,1,\cdots$

我们将具体的 $n$ 值代入前几项进行观察：

• 当 $n=1$ 时， $1\times \cos \frac{\pi }{2}=1\times 0=0$
• 当 $n=2$ 时， $2\times \cos \pi =2\times (-1)=-2$
• 当 $n=3$ 时， $3\times \cos \frac{3\pi }{2}=3\times 0=0$
• 当 $n=4$ 时， $4\times \cos 2\pi =4\times 1=4$

由此可见，所有奇数项在相乘后全部为 0，只保留偶数项。我们将偶数项完整列出： $T=-2+4-6+8-10+12-\cdots -2010+2012$

由于从 1 到 2012 共有 2012 项，其中偶数项占据了一半，共计 $2012÷2=1006$ 项。 我们采用相邻两项分组并项法，将这 1006 个偶数项每两项结成一组： $T=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+\cdots +(-2010+2012)$

计算发现，每一组括号内部的代数和都精确等于一个固定常数： $-2+4=2,-6+8=2,\cdots ,-2010+2012=2$

因为总共有 1006 个偶数项，两两配对后，一共有如下组数： $\text{组数}=\frac{1006}{2}=503\text{ 组}$

所以，交错序列 $T$ 的总和为： $T=2\times 503=1006\text{(2)}$

最后，将①式和②式的结果合并，求得最终的前 $n$ 项和 $S_{2012}$： $S_{2012}=T+2012=1006+2012=3018$

填空题答案为：3018

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦型周期因子的取值发散规律、大跨度级数求和的并项配对策略、求和公式的线性拆分。
2. 核心方法：并项求和法（周期配对法）。在高考数列小题中，凡是看到通项公式中隐含有 $\cos \frac{n\pi }{2}$、 $\sin \frac{n\pi }{2}$ 或 $(-1{)}^n$ 等具有交错、周期跳跃特性的因子时，标准的解题大招是：先独立代入前 4 到 8 项观察其局域规律，将零项剔除，再对非零项按其震荡周期进行两两或四四并项重组，即可将长链条化为简单的常数乘法。
3. 避坑指南：

• 漏记常数项的累加：很多考生在做此题时，精力全被复杂的 $n\cos \frac{n\pi }{2}$ 吸引，好不容易算完偶数项总和 1006 后，大脑一松，直接漏掉了最尾部的 $+1\times 2012$，导致最终写下 1006 或 1007 的错误答案。
• 偶数项总项数与组数数错：在计算组数时，容易把 1006 项直接当成组数，或者直接用 $2012÷2=503$ 发生计数混乱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中非线性数列特殊求和方法的拔高训练题。在高等数学中，该结构属于经典的傅里叶级数分量离散求和模型。
2. 结论推广:

• 四阶余弦周期交错通项求和通用快速模型：对于任意形如 $a_n=n\cos \frac{n\pi }{2}+B$ 的数列，若求其前 $n$ 项和，且已知项数 $n$ 是 4 的整数倍（即 $n=4m,m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。
• 经上述奇数项归零、偶数项按周期 4 提取公差 2 拆分后，其代数通式在完全约分化简后，恒满足如下高度规整的通用推广快捷公式： $S_{4m}=2m+4m\cdot B$
• 本题中总项数 $n=2012⟹m=\frac{2012}{4}=503$，且常数项 $B=1$。我们直接套用这一推广快速模型通式进行口算复核： $S_{2012}=2\times 503+2012\times 1=1006+2012=3018$
• 结果一步到位，完全一致。熟记这一周期截断并项模型，在考场上遇到任何同类三角交错求和小题时，均能直接实现口算直接得出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质 类题演练 (Links)

• 2010-天津卷理-06 单-等比数列

• 2013-陕西卷文-19 解-数列求和与证明

• 1977-北京理-06