2013-陕西卷文-19 解-数列求和与证明

本题导读

本题考查等差数列的前项和。核心在于倒序相加法、作差法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 设 $S_n$ 表示数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.

(1)若 $\{a_n\}$ 是等差数列，推导 $S_n$ 的计算公式；

(2)若 $a_1=1$，$q\ne 0$，且对所有正整数 $n$，有 $S_n=\frac{1-q^n}{1-q}$，判断 $\{a_n\}$ 是否为等比数列，并证明你的结论.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ 倒序相加：$2S_n=n(a_1+a_n)$ → $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$。
2. $(2)$ $n⩾2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{q^{n-1}-q^n}{1-q}=q^{n-1}$；$n=1$ 时 $a_1=1=q^0$，故 $a_n=q^{n-1}$。
3. $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$（$q\ne 0$，各项非零）→ 是首项 $1$、公比 $q$ 的等比数列。

✅【答案】

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(1)见解析；(2)$\{a_n\}$ 是等比数列（首项 $1$，公比 $q$）

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，则 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}+a_n.$ 把各项倒序再写一遍： $S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_2+a_1.$ 两式相加，注意每一对对应项之和相等（$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\cdots =a_n+a_1$，共 $n$ 对）： $2S_n=n(a_1+a_n),$ 故 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}.$ 把 $a_n=a_1+(n-1)d$ 代入，得 $S_n=\frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d.$ （2） $\{a_n\}$ 是等比数列。证明如下： 由 $S_n=\frac{1-q^n}{1-q}$（此式对一切正整数 $n$ 成立，故 $q\ne 1$）。 当 $n⩾2$ 时， $a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}-\frac{1-q^{n-1}}{1-q}=\frac{q^{n-1}-q^n}{1-q}=q^{n-1}(1-q)\cdot \frac{1}{1-q}=q^{n-1}.$ 又 $n=1$ 时 $a_1=1=q^0$，故对一切正整数 $n$ 都有 $a_n=q^{n-1}.$ 因 $q\ne 0$，故 $a_n\ne 0$，且对任意正整数 $n$， $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{q^n}{q^{n-1}}=q(\text{常数}).$ 所以 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$、公比为 $q$ 的等比数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列求和公式的推导与等比数列的证明

核心方法：$(1)$ 倒序相加：$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ 与 $S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1$ 相加，由 $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\cdots$ 得 $2S_n=n(a_1+a_n)$ → $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$；$(2)$ $a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}-\frac{1-q^{n-1}}{1-q}=q^{n-1}$（$n⩾2$），且 $a_1=1=q^0$ → $a_n=q^{n-1}$，$q\ne 0$ → 等比数列

避坑指南：$(2)$ 判定等比要回到定义：先由 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 求通项，再验证 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$ 对所有 $n$ 成立（含 $n=1$）；由 $S_n=\frac{1-q^n}{1-q}$ 知 $q\ne 1$，而 $q\ne 0$ 已给，故 $q^{n-1}\ne 0$，比值有意义。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列求和公式的推导与由 $S_n$ 判定等比数列。

结论推广：倒序相加法；$S_n$ 与通项的关系 $a_n=S_n-S_{n-1}$。

方法推广：倒序相加推 $S_n$ → 作差求 $a_n$ → 验证比值为常数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-17 解-等差数列
• 2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和
• 2014-重庆卷文-02 单-等差数列