2012-福建卷理-16 解-概率

本题导读

本题考查频数与频率的转化。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)） 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆（注：应为各随机抽取 50 辆），统计数据如下：

| 品牌 | 甲 | 乙 | | 首次出现故障的时间 $x$（年） | $0<x\le 1$ | $1<x\le 2$ | $x>2$ | $0<x\le 2$ | $x>2$ | | 轿车数量（辆） | 2 | 3 | 45 | 5 | 45 | | 每辆利润（万元） | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.9 |

将频率视为概率，解答下列问题：

(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

(2)若该厂生产的轿车均能售出，记住（注：应为记）生产一辆甲品牌轿车的利润为 $X_1$，生产一辆乙品牌轿车的利润为 $X_2$，分别求 $X_1,X_2$ 的分布列；

(3)该厂预计今后这两品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第（Ⅰ）问思路：

• 保修期为 2 年，意味着首次出现故障的时间 $x\le 2$。
• 观察甲品牌的数据， $x\le 2$ 包含了 $0<x\le 1$（2辆）和 $1<x\le 2$（3辆）两个互斥事件。将频数相加除以样本总数 50 即可得到概率。

2. 第（Ⅱ）问思路：

• 随机变量 $X_1$（甲单车利润）的可能取值为 1，2，3。其概率分别对应各组频数除以 50。
• 随机变量 $X_2$（乙单车利润）的可能取值为 1.8，2.9。其概率同样由频数除以 50 决定。列出标准的分布列表格。

3. 第（Ⅲ）问思路：

• 要比较两种品牌的“经济效益”，在概率论中最核心的评价指标是数学期望（平均利润）。
• 依据公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 分别算出 $E(X_1)$ 和 $E(X_2)$，哪种品牌的平均利润高，企业就应该优先投产哪种品牌。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{10}$

(2) $P(X_1=1)=\frac{1}{25}$，$P(X_1=2)=\frac{3}{50}$，$P(X_1=3)=\frac{9}{10}$；$P(X_2=1.8)=\frac{1}{10}$，$P(X_2=2.9)=\frac{9}{10}$

(3) 应生产甲品牌，$E(X_1)=2.86>E(X_2)=2.79$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 设“从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，首次出现故障发生在保修期内”为事件 $A$。 根据题意，保修期为 2 年，即首次出现故障的时间满足 $0<x\le 2$。 由统计表可知，在抽取的 50 辆甲品牌轿车中，故障时间在 2 年以内的车辆数共计为 $2+3=5$ 辆。 以频率作为概率，可得事件 $A$ 的概率为： $P(A)=\frac{2+3}{50}=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}$

所以，首次出现故障发生在保修期内的概率为 $\frac{1}{10}$（或 0.1）。

（Ⅱ）解： 根据统计数据，将各组车辆数占总样本（50辆）的频率视为概率，分别构建两变量的分布列：

1. 对于甲品牌单车利润 $X_1$： $X_1$ 的所有可能取值为 1，2，3（单位：万元）。对应的概率分别为： $P(X_1=1)=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}$ $P(X_1=2)=\frac{3}{50}$ $P(X_1=3)=\frac{45}{50}=\frac{9}{10}$

2. 对于乙品牌单车利润 $X_2$： $X_2$ 的所有可能取值为 1.8，2.9（单位：万元）。对应的概率分别为： $P(X_2=1.8)=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}$ $P(X_2=2.9)=\frac{45}{50}=\frac{9}{10}$

由此可得 $X_1,X_2$ 的概率分布列分别如下：

甲品牌轿车利润 $X_1$ 的分布列：

$X_1$	1	2	3
$P$	$\frac{1}{25}$	$\frac{3}{50}$	$\frac{9}{10}$

乙品牌轿车利润 $X_2$ 的分布列：

$X_2$	1.8	2.9
$P$	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{10}$

（Ⅲ）解： 应该投产甲品牌的轿车。理由如下：

根据（Ⅱ）中求出的概率分布列，我们分别计算甲、乙两种品牌轿车单车利润的数学期望：

• 甲品牌轿车单车利润的数学期望 $E(X_1)$ 为： $E(X_1)=1\times \frac{1}{25}+2\times \frac{3}{50}+3\times \frac{9}{10}$ $=\frac{2}{50}+\frac{6}{50}+\frac{135}{50}=\frac{143}{50}=2.86\text{ （万元）}$

• 乙品牌轿车单车利润的数学期望 $E(X_2)$ 为： $E(X_2)=1.8\times \frac{1}{10}+2.9\times \frac{9}{10}$ $=0.18+2.61=2.79\text{ （万元）}$

通过数据对比可见： $E(X_1)>E(X_2)$

这表明，从长期大批量的售出趋势来看，生产甲品牌轿车平均每辆能为企业带来 2.86 万元的利润，高于乙品牌的 2.79 万元。 因此，从长期的平均经济效益角度考量，该制造厂应该选择生产甲品牌的轿车。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型变量分布列规范表格的书写、古典概型频数向概率的代数转化、期望定义式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 的基础计算。
2. 核心方法：期望决策对比法。解决立体几何、概率统计大题中关于“应该选择哪种方案、应该投产哪种产品”的决策性设问，切忌使用主观感性的文字去描述，唯一具有严密说服力的标准解法是算出两个不同产品对应经济收益变量的“数学期望（平均值）”，通过数学期望的代数大小进行刚性判定。
3. 避坑指南：

• 混淆甲乙两列数据的总车辆数：审题时必须看清，表格是“分别”对甲、乙抽取了 50 辆，而不是两个品牌一共抽取 50 辆。因此计算任何一个品牌的单项频率时，分母都雷打不动地固定为 50。
• 期望计算中小数乘分数的粗心：在计算 $E(X_2)=1.8\times 0.1+2.9\times 0.9$ 时，极易因看错小数点导致算错，建议统一化成分数或统一化成小数再进行加法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布》中随机变量期望与实际决策的课后经典应用大题。属于高考大题中考查概率统计基本功的中档常规题。
2. 结论推广:

• 企业风险控制与收益最大化期望评价模型：设企业投产某种产品，市场反馈下该产品的高、中、低端不同周期的收益表现为 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$，其对应的发生概率为 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$。
• 在经济学和现代精算学中，多方案选优的标准判定法则恒表现为最优期望决策算式： $\text{方案选优}=\max \left\{E(X_{(1)}),E(X_{(2)}),\cdots ,E(X_{(m)})\right\}$
• 掌握该期望效益决策模型，在面对任何复杂的投资、抽奖、生产线改造等概率大题时，均能精准锁定“算期望、比大小”的答题主线，稳斩大题满分。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征 类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列

• 2014-四川卷理-17 解-随机变量的分布列

• 2004-天津理-18 解-离散型随机变量的分布列